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Question

Supongamos que$f(x,y)$ es una función armónica delimitada en el disco de la unidad$D = \{z = x + iy : |z| < 1 \} $ y$f(0,0) = 1$. Muestra que$$\iint_{D} f(x,y)(1 - x^2 - y^2) ~dx ~dy = \frac{\pi}{2}.$ $

Estoy estudiando para un examen preliminar este mes de agosto y no he tomado Complex en mucho tiempo (hace dos años). No sé cómo resolver este problema o incluso dónde buscarlo, a menos que sea un juego con el teorema de Green. ¿Alguna ayuda? No necesito una solución completa, solo una sugerencia útil y puedo trabajar el resto por mi cuenta.

Answer 1

Las funciones armónicas tienen la propiedad de valor medio, que es $$ \ frac1 {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} f (z + re ^ {i \ phi}) \, \ mathrm {d} \ phi = f (z) $$ Si escribimos la integral en coordenadas polares $$ \begin{align} \iint_Df(x,y)(1-x^2-y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^1\int_0^{2\pi}f(re^{i\phi})(1-r^2)\,r\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r\\ &=2\pi\int_0^1f(0)(1-r^2)\,r\,\mathrm{d}r\\ &=2\pi f(0)\cdot\frac14\\ &=\frac\pi2 \end {align} $$

Answer 2

Comience con la propiedad de valor medio de las funciones armónicas:$\int_0^{2 \pi} f(r \cos \theta, r \sin \theta) d\theta =f(0,0) 2 \pi $.