Polinomio mínimo de una extensión de campo.

Question

Suponga $k$ es un campo y $x$ es trascendental $k$. Si $p(x)$ $q(x)$ ser relativamente primer polinomios de $k[x]$ a continuación, quiero encontrar el polinomio mínimo de a$x$$k\left(\dfrac{p(x)}{q(x)}\right)$.

Si uno de ellos puede ser una constante, a continuación, $[k(x):k(\dfrac{p}{q})]$ es el grado de " el otro y el polinomio mínimo es $p(T)-p(x)$ si $p(x)$ es de la no-constante, $q(T)-q(x)$ si $q(x)$ no es la constante.

Ahora, ¿qué iba a hacer era este;

$\big(p(x),q(x)\big)=1\Longrightarrow \exists r(x),s(x)\in k[x]\text{ s.t. }r(x)p(x)+s(x)q(x)=1$

A continuación, $r(T)\dfrac{p}{q}+s(T)=\dfrac{1}{q}$

Por lo $[k(x):k(\dfrac{p}{q},\dfrac{1}{q})]=\max(\deg(p),\deg(q))$ pero estoy buscando polinomio mínimo de a$x$$k(\dfrac{p}{q})$$[k(x):k(\frac{p}{q})]$. Sé que este extenction grado debe ser$\max(\deg(p),\deg(q))$, pero no sé su prueba, también quiero que el polinomio mínimo es explícitamente una prueba de mencionar este teorema y que el teorema no es lo que estoy buscando.

Answer 1

La respuesta es tan tautológica y fácil de lo que parece incomprensible!
Si usted llama a $u$ la fracción $u=\frac{p(x)}{q(x)}$ un polinomio $f(T)\in k(u)[T]$ de grado más bajo de la matanza $x$ $$f(T)=p(T)-uq(T)$ $ Si quieres un monic polinomio tendrá que dividir ese polinomio $f(T)$ por algunos "constante", es decir, por algún elemento en $k(u)$ a fin de obtener la $\operatorname {min}(x,k(u),T)$.

Un ejemplo
Si $u=\frac {x}{x^2+1} $ primero calcular $f(T)= T-\frac {x}{x^2+1}(T^2+1)=-\frac {x}{x^2+1}T^2+T-\frac {x}{x^2+1}$ y el polinomio mínimo de a$x$$k(u)$, que se obtiene dividiendo por $-\frac {x}{x^2+1}$, por lo que los requisitos mínimos polinomio para$x$$k(u)$: $$\operatorname {min}(x,k(u),T)=T^2-\frac {x^2+1}{x}T+1=T^2-\frac 1u T+1\in k(u)[T]$$