Aquí es Prob. 5, 26 Segundos, en el libro de Topología por James R. Munkres, 2ª edición:
Deje $A$ $B$ ser disjuntas compacto subespacios del espacio de Hausdorff $X$. Demuestran que existen abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $V$ contiene $A$$B$, respectivamente.
Primero de todo, aquí es el Lema 26.1:
Deje $Y$ ser un subespacio de (un espacio topológico) X. a Continuación, $Y$ es compacto (relativa a la topología de subespacio de que $Y$ hereda de $X$) si y sólo si cada cubrimiento de $Y$ por conjuntos abiertos en $X$ contiene un número finito de subcolección cubriendo $Y$.
Y, aquí es el Lema 26.4:
Si $Y$ es un subespacio compacto de Hausdorff espacio de $X$ $x_0$ no $Y$, entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $V$ $X$ contiene $x_0$$Y$, respectivamente.
Creo que me estoy claro en la prueba de cualquiera de los Lemas 26.1 y 26.4. Así que voy a ser el uso de estos en mi prueba de Prob. 5, 26 Segundos, que es el siguiente:
Desde $A$ $B$ son distintos, por lo tanto, para cada punto de $a \in A$, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U_a$ $V_a$ $X$ contiene $a$$B$, respectivamente, por el Lema 26.4.
Como la colección $$ \left\{ \ U_a \colon \ a \in A \ \right\}$$ is a covering of $Un$ by sets open in $X$, so by Lemma 26.1 there is a finite subcollection of this collection that also covers $$; let $U_{a_1}, \ldots, U_{a_n}$ se esta finito subcolección.
Ahora vamos a poner $$ U \colon= \bigcup_{i=1}^n U_{a_i} \qquad \mbox{ and } \qquad V \colon= \bigcap_{i=1}^n V_{a_i}. \tag{1} $$ Aquí $V_{a_1}, \ldots, V_{a_n}$ son el open conjuntos que corresponden a los conjuntos de $U_{a_1}, \ldots, U_{a_n}$, respectivamente, en el primer párrafo de esta prueba.
Entonces, tanto los conjuntos de $U$ $V$ como se define en (1) aquí se abre conjuntos de $X$; por otra parte el conjunto de $U$ contiene $A$ por nuestra elección de los conjuntos que $U$ está compuesto.
Como cada set $V_a$ en el primer párrafo contiene $B$, de modo que tiene cada uno de los conjuntos de $V_{a_i}$ en el punto (1) anterior, por lo $B$ está contenido en $V$.
Por último, si $u \in U$, $u \in U_{a_k}$ algunos $k = 1, \ldots, n$, y por lo tanto este punto de $u$ no estaría en el conjunto correspondiente $V_{a_k}$, y, por tanto, $u$ no estaría en el conjunto $V$ en el punto (1) anterior.
Por el contrario, si $v \in V$, $v$ está en cada uno de los conjuntos de $V_{a_1}, \ldots, V_{a_n}$, y por lo tanto $v$ se encuentra en ninguno de los conjuntos de $U_{a_1}, \ldots, U_{a_n}$, lo que implica que $v$ no $U$.
Así, los conjuntos de $U$ $V$ son disjuntas.
Es esto una prueba de la correcta? Si es así, entonces es claro que en todos y cada uno de sus pasos? Si no, entonces ¿dónde están los problemas?
