Para encontrar los últimos dos dígitos de$2^{100}$

Question

Para encontrar los últimos dos dígitos de$2^{100}$

Acabo de aprender sobre aritmética modular y quería resolver este problema. Solo sé sobre clases de equivalencia y sobre$a=b \pmod n$. También he aprendido sobre la multiplicación y adición de clases. ¿Puede alguien explicarme paso a paso cómo aplicar la aritmética modular a este problema?

Gracias

Answer 1

Método 1 (usando el algoritmo de poder rápido):

$2^0 \equiv 1 \pmod {100}$

$2^1 \equiv 2 \pmod {100}$

$2^2 \equiv 4 \pmod {100}$

$2^4 \equiv 16 \pmod {100}$

$2^8 \equiv 56 \pmod {100}$

$2^{16} \equiv 36 \pmod {100}$

$2^{32} \equiv 96 \pmod {100}$

$2^{64} \equiv 16 \pmod {100}$

Ya que $100 = 4 + 32 + 64$

$2^{100} \equiv 2^{4} 2^{32} 2^{64}\equiv 16 \times 96 \times 16 \equiv 76 \pmod {100}$

Método 2 (usando ciclo mínimo para mejorar):

Ya que $2^{22} \equiv 4 \pmod {100}$, $2^{100} \equiv 2^{22 \times 4 + 12} \equiv 4^4 \times 2^{12} \equiv 2^{20} \equiv 16 \times 96 \equiv 76 \pmod{100} $

Por último, pero no menos importante: desde$2^{20} \equiv 76 \pmod {100}$,$76 \times 76 \equiv 76 \pmod{100}$,$2^{100} = 2^{20 \times 5} \equiv 76^5 \equiv 76 \pmod{100} $ por inducción.

Answer 2

$$2^{100} \equiv 4^{50} \equiv 0 \pmod {4}$ $$$2^{100} \equiv 1024^{10} \equiv (-1)^{10} \equiv 1 \pmod {25}$ $

Entonces, ¿qué número menor que$100$ es$0 \pmod 4$ y$1 \pmod {25}$?

Answer 3

$2^{100}\bmod{100}=$

$2^{10\cdot10}\bmod{100}=$

$(2^{10})^{10}\bmod{100}=$

$1024^{10}\bmod{100}=$

$24^{10}\bmod{100}=$

$24^{3\cdot3+1}\bmod{100}=$

$(24^{3})^{3}\cdot24\bmod{100}=$

$13824^{3}\cdot24\bmod{100}=$

$24^{3}\cdot24\bmod{100}=$

$13824\cdot24\bmod{100}=$

$24\cdot24\bmod{100}=$

$576\bmod{100}=$

$76\pmod{100}$

Answer 4

Use el teorema del resto chino :$$\mathbf Z/100\mathbf Z\simeq \mathbf Z/4\mathbf Z\times\mathbf Z/25\mathbf Z.$ $

Ahora$2^{100}\equiv 0\mod 4$, y$\;2^{100}=(2^{20})^5\equiv 1^5=1\mod 25\;$ según el teorema de Euler .

Entonces tenemos que resolver el sistema de congruencias lineales: $ \; \begin{cases} x\equiv 0\mod4,\\x\equiv 1\mod 25.\end {cases} $

A partir de la relación de Bézout $\;25-6\cdot 4=1$, deducimos las soluciones:$$x\equiv 0\cdot 24-1\cdot 6\cdot 4=-24\equiv 76\mod 100.$ $

Answer 5

$2^{10}=1024$

$2^{100}=1024^{10}$

$2^{11} \equiv48$

$ 2^{12}\equiv96\equiv-2^2$

$ 2^{100}\equiv2^{12*8+2^4}\equiv-{2^2}^8*2^4$

$ =-2^{20}=-2^2*256=-24\equiv76 \pmod {100}$

otro método

Por la función de Euler,$2^{\phi(25)}=2^{20}\equiv1 \pmod{25}$

$2^{100}\equiv1,26,51,76 \pmod{100}$

$2^{100}$ es múltiplo de 4, así que$76$.