Estrategia para la lectura de libros de matemáticas, es mejor probar los teoremas de ti mismo o que acaba de leer?

Question

Contexto: estoy de auto-estudio de algunas de mediados de la parte superior del nivel de licenciatura de matemáticas de los sujetos. Por ejemplo, ahora mismo me estoy leyendo Munkres' Topología libro.

Generalmente, el enfoque que yo uso es el de ir a través de todo el libro, en fin, buscando en cada teorema y tratando de demostrar que sin mirar la prueba proporcionada en el texto. Si me quedo atascado, miro el comienzo de la prueba para obtener una pista y, a continuación, inténtelo de nuevo. Si todavía estoy atascado, me repita esto hasta que he probado o leer la totalidad de la prueba siempre (incluso si estoy en condiciones de demostrar el teorema yo sigo leyendo a prueba de epílogos). Yo soy capaz de probar la mayoría de los teoremas sin mirar la prueba, pero este método es muy lento. Yo suelo hacer unos 2-3 de los ejercicios al final de cada capítulo y, a continuación, pasar.

Un enfoque en el que acabo de leer las pruebas en vez de probar por mí mismo sería mucho más rápido y me permiten dedicar más tiempo a otras cosas. Tengo dos preguntas específicas con respecto a este.

(1) Dado que tengo una cantidad limitada de tiempo para asignar el estudio de las matemáticas, mi enfoque actual significa que me paso un montón de tiempo en ir a través de los teoremas del texto principal, y no mucho tiempo en los ejercicios al final de cada capítulo. Es esto bueno o malo? Los teoremas del texto principal son generalmente diferentes de los de los ejercicios en un número de maneras, la mayoría, obviamente, que los teoremas en el texto principal son generalmente más importantes. Dado esto, me gustaría saber cómo distribuir el tiempo entre, por un lado, demostrar (y la comprensión de las pruebas de) los principales teoremas y, por otro lado, la aplicación/extensión/afinando los principales teoremas, que es lo que los ejercicios que normalmente hacemos.

(2) he oído que algunas personas (en SÍ mismo y en otros lugares) dicen que su mejor tomar varias pasadas a través del libro con el aumento de la atención al detalle con cada paso. Dado que mi enfoque actual es efectivo para mí (estoy aprendiendo el material), pero lenta (en comparación con otros estudiantes con los que he hablado), ¿parece que estoy leyendo muy de cerca la primera vez alrededor?

Muy apreciado.

Edit: Si alguien está pensando en responder a esta pregunta, tengo curiosidad por cómo su respuesta difiere si estoy en lo puramente auto-estudio vs estudiando para un curso de la universidad que sigue de cerca un libro de texto.

Answer 1

En mi experiencia, es mejor ser capaz de aplicar los teoremas que probar (a menos que necesite pruebas para un examen). Yo personalmente peso hacia pasar el tiempo en los ejercicios. Leer a través de las pruebas, sin duda, para tener una idea de cuáles son los métodos utilizados para demostrar cosas en esta área, pero los principales teoremas son "principales" por una razón: sus aplicaciones son muy útiles o importantes. Llegar a conocer a sus aplicaciones haciendo los ejercicios, y pasar el resto del tiempo en los teoremas.

De lo contrario, si el tiempo que estás tomando no está causando problemas, entonces creo que lo estás haciendo de la manera correcta. Un camino que no es mucho peor, pero toma mucho menos tiempo es descremada cada prueba como usted cumple el teorema, y luego comenzar de nuevo en su forma habitual (demostrando que sin más información). Que le permite obtener un sentido de la dirección que usted necesita ir para la prueba, y le dirá si un teorema tiene una horriblemente larga la prueba de que usted va a tomar para siempre.

Si usted necesita para ahorrar más tiempo, puede ser vale la pena aprender a identificar que los teoremas son realmente importantes y cuáles no lo son. A veces el autor ha escrito "este es un lindo poco de lado-resultado" o similar. Acabo de leer y trabajar a través de las pruebas (o, aún más rápido de lectura, omitir las pruebas) de que los resultados no son muy central.

Si tienes que meter por alguna razón, me resulta más efectiva sólo a la memorización aprender las pruebas, pero por supuesto esto es horrible práctica y sólo debe utilizarse como último recurso antes de los exámenes o lo que sea.

Answer 2

Te sugiero que no trates de prueba para todos los teoremas en el libro por su cuenta y en lugar de concentrarse en los ejercicios y tal vez en demostrar la corollarys a ti mismo. Especialmente en los finales de los capítulos de un libro de las pruebas se hará más y más complicada, y va a perder más y más tiempo sólo en la búsqueda de un tipo específico de idea.

Cuando la lectura de un libro creo que las siguientes cosas son más importantes que la elaboración de una prueba en su propia:

• Comprender la idea de la prueba. Trate de encontrar una razón intuitiva de por qué ciertas construcciones realizadas.
• Entender lo que el teorema se transmite. ¿Cuál es la interpretación intuitiva de la declaración del teorema?
• Entender por qué ciertos supuestos de hecho. Puede encontrar ejemplos de lo contrario si usted caerá? Pueden los supuestos que se weakend de alguna manera? Usted puede obtener significativa afirmación más fuerte si usted fortalecer los supuestos?
• Trate de encontrar una intuitiva ejemplo para el teorema. Especialmente en (primaria) topología usted puede encontrar a menudo un buen ejemplo en $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ o $C([0, 1])$.

Para responder a su segunda pregunta: Personalmente, yo no puedo leer un libro acerca de la matemática desde la parte delantera a la trasera. Normalmente, cuando tengo que empezar a leer y ver una definición o un teorema, no recuerdo que después de leer más de diez las definiciones y teoremas. Pero estas definiciones y teoremas se vuelven importantes en la parte posterior, por lo que me suelen leer hasta que tengo una áspera comprensión de por qué un concepto es útil y, a continuación, deje de leer cuando empiezo a tener demasiados huecos para entender las pruebas. Luego vuelvo un montón de páginas y empezar a re-lectura de las páginas que yo no sabía.

Answer 3

El estudio de uno mismo puede ser una pesadilla. Cuando usted asiste a un curso de la universidad, usted no se preocupe acerca de cuánto tiempo el curso: el instructor debe preocuparse por ello. Al estudiar por tu cuenta, es bastante difícil de organizar su tiempo.

Como un matemático puro debo decir que las pruebas son con frecuencia (a menudo, no siempre, es más importante que la de las declaraciones. La prueba del valor medio teorema (teorema de Lagrange) es más esclarecedor que su declaración. Los físicos y los matemáticos, los físicos a veces recomiendan para saltar pruebas porque son demasiado técnicos.

Hace muchos años decidí trabajar en el campo del análisis matemático, pero estudié topología, también. En mi memoria las pruebas son aún más importantes en la topología, ya que se puede aprender de las ideas y técnicas que usted no esperaría que después de leer una declaración. Un buen libro debe ser capaz de señalar los importantes resultados de la técnica y de los lemas, así que mi sugerencia es que usted debe seguir de cerca su libro de texto. No tengo Munkres libro en la mano, pero supongo que saltarse las pruebas de que sería una lástima.

Answer 4

Soy auto-estudio de Cálculo de Apostol del libro. En primer lugar, hice exactamente lo que hacer, entonces me di cuenta de que me estaba perdiendo demasiado tiempo. He cambiado mi enfoque del tema y empecé a prestar atención a los principales teoremas. Por supuesto, usted debe ser capaz de entender los teoremas que están obligados a demostrar un teorema principal, pero usted no tiene que gastar mucho tiempo probando. Cuando usted lucha con los detalles, probablemente usted tendrá dificultades para ver la imagen en grande.