CLT y distribuciones estables

Question

Tengo algunas preguntas sobre las generalizaciones del CLT y las distribuciones estables. Estoy tratando de corregir mi comprensión y hacerla precisa. Por favor, perdonen mi ingenuidad, no soy un estadístico profesional :-)

Si tomo la suma de una secuencia suficientemente grande de V.R. independientes, ¿convergen siempre a una distribución estable? (He oído hablar de generalizaciones de la CLT, pero busco más precisión).

Al trabajar con datos reales, ¿cuál sería una pista de que necesito modelar con una distribución estable? ¿Es posible realizar la máxima verosimilitud con distribuciones estables?

Answer 1

No hay distribuciones que no satisfagan las condiciones para estar en el dominio de atracción de una ley estable. Teorema 2(a) Feller "An Introduction to Probability Theory and Its Applications Volume II page 577: Para que una distribución F pertenezca a algún dominio de atracción es necesario que la función de momento truncado u(x) varíe regularmente con un exponente $2-?$ , $(0<?<=2)$ . $u(x) =?y^2 dF(y)$ donde los límites de integración son de $-x$ a $x$ . $u(x)$ varía regularmente significa $u(x) ~ x^{2-?} L(x)$ donde $L(x)$ es una función que varía lentamente y que varía lentamente significa $L(tx)/L(t) -> 1$ como $t->?$ .

Answer 2

Si tomo la suma de una secuencia de V.R. independientes, ¿convergen siempre a una distribución estable? (He oído hablar de generalizaciones de la CLT, pero busco más precisión).

Creo que necesitamos más restricciones en esta declaración para decir algo útil. Podríamos tener una secuencia de VR aleatorios independientes en el intervalo [0, i]. La convolución de dos RVs cualesquiera de esta secuencia ciertamente no sigue la misma distribución y la distribución asintótica de la media muestral converge a una distribución no estable.

Answer 3

En cuanto a la máxima verosimilitud, empieza con esto: la distribución gaussiana es estable, así que ciertamente es posible en algunas circunstancias.