resistencias paralelas

Question

Considere el conjunto $E_b = \left\{1, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2\right\}$ . Este es nuestro conjunto base. Definamos el conjunto $E$ de la siguiente manera: $$ E = \left\{ 10^k e \mid k=0,1,2,\ldots, \text{for every} e \in E_b \right\}$$ y $\Omega$ como la clase de todos los subconjuntos de $E$ . Estamos interesados en definir un mapeo $f$ de $\mathbb{N} \setminus \left\{1 \right\}$ a $\Omega$ tal que $f(n)$ se asigna a un conjunto $E_k \in \Omega$ según la siguiente regla: $$ \frac{1}{n} = \sum_{e_k \in E_k}{\frac{1}{e_k}}$$ He aquí algunos ejemplos:

• $f(4) = \left\{10, 12, 15\right\}$ como $\frac{1}{4} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$
• $f(12) = \left\{12\right\}$
• $f(19) = $ No he encontrado un conjunto que se pueda asignar a $19$ podría ser un conjunto vacío
• $f(20) = \left\{22, 220 \right\}$ como $\frac{1}{20} = \frac{1}{22} + \frac{1}{220}$

Esta pregunta/puzzle me la planteó un colega (ingeniero eléctrico), la idea es sintetizar una resistencia deseada (un valor entero en este caso) con un conjunto dado de resistencias estándar (conjunto $E$ ) en paralelo (dos resistencias en paralelo dan como resultado $\frac1{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$ ).

Ahora me interesa saber si podemos sintetizar una resistencia con un número mínimo de resistencias estándar, es decir, un límite inferior a la cardinalidad de $f(n)$ . Más interesante aún, me gustaría saber si alguien puede idear un algoritmo para construir dicho mapeo para cada $n \in \mathbb{N} \setminus \left\{1 \right\}$ no necesariamente con una cardinalidad mínima. Además, para qué números $f(n)$ ¿es un conjunto vacío?

Espero haber articulado la pregunta en términos matemáticos con suficiente claridad.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial, identificando algunos $n$ que no se puede sintetizar con un subconjunto finito de valores de $E$ .

El LCM de $E_{\text{b}}$ es $N=3541509972=2^2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 41\cdot 47$ . Así, $\frac{N}{e}$ es un número entero para $e\in E_{\text{b}}$ . En general $e\in E$ , $\frac{N}{e}$ por lo tanto tiene parte fraccionaria con longitud decimal finita.

En consecuencia, si $f(n)$ es un conjunto finito, entonces la suma para $\frac{N}{n}$ tiene necesariamente una parte fraccionaria con una longitud decimal finita.

Esto implica que si $n$ tiene divisores primos distintos a los de $5N$ o divisores primos distintos de $2$ y $5$ que se dan en mayor multiplicidad que en $N$ no hay ningún conjunto finito $f(n)$ puede darse porque $\frac{N}{n}$ tendría entonces una expansión decimal infinita. Por ejemplo $19$ y $81$ no se puede sintetizar.