Tengo dudas sobre el siguiente problema (Problema 3.21 de Sipser "Introducción a la Teoría de la Computación"):
Deje $c_1 x^n + c_2 x^{n-1} + \cdots + c_n x + c_{n+1}$ ser un polinomio con una raíz en $x=x_0$. Deje $c_{\rm max}$ ser el mayor valor absoluto de un $c_i$. Mostrar que
$$|x_0|<(n+1)\dfrac{c_{\rm max}}{c_1}.$$
Aquí es cómo fui capaz de acercarse a él (estoy seguro de que es correcta):
Haciendo que el polinomio sea igual a cero (en este caso, $x=x_0$):
$$c_1 x_0^n + c_2 x_0^{n-1} + \cdots + c_n x_0 + c_{n+1} = 0$$
La reorganización de los términos:
$$c_1 x_0^n = -(c_2 x_0^{n-1} + \cdots + c_n x_0 + c_{n+1})$$
Tomando el valor absoluto de ambos lados:
$$|c_1 x_0^n| = |c_2 x_0^{n-1} + \cdots + c_n x_0 + c_{n+1}|$$
Aplicando la desigualdad de triángulo:
$$|c_1 x_0^n| \leq |c_2 x_0^{n-1}| + \cdots + |c_n x_0| + |c_{n+1}|$$
La desigualdad anterior aún se mantiene si sustituimos $c_{max}$ para todos los coeficientes:
$$|c_1 x_0^n| \leq |c_{max}| ( 1 + |x_0| + \cdots + |x_0^{n-1}| )$$
La desigualdad también se mantiene si sustituimos $n x_0^{n-1}$ $1 + |x_0| + \cdots + |x_0^{n-1}|$ (debido a que esta suma ha $n$ términos y $x_0^{n-1}$ es la mayor de las si $x_0>1$):
$$|c_1 x_0^n| \leq |c_{\rm max}| n |x_0^{n-1}|$$
$$|x_0| \leq n \dfrac{|c_{\rm max}|}{|c_1|}$$
A partir del resultado anterior, es cierto que:
$$|x_0| < (n+1) \dfrac{|c_{\rm max}|}{|c_1|}$$
El resultado anterior está muy cerca de el resultado deseado, excepto que debería ser $|x_0|<(n+1)\dfrac{c_{\rm max}}{c_1}$ (sin la absoluta bares).
Es este enfoque correcto?
Edit: Como se señaló en los comentarios, yo también tengo que considerar el caso en que $x_0\leq 1$.
Si $x_0\leq 1$$\max(1, |x_0|,\cdots,|x_0|^{n-1}) = 1$, lo $|c_1x_0^n|\leq |c_{\rm max}|n$, e $|x_0|\leq \left(n\dfrac{c_{\rm max}}{|c_1|}\right)^{1/n}$.
Desde $c_{\rm max}\geq c_1$:
$|x_0| \leq \left(n\dfrac{c_{\rm max}}{|c_1|}\right)^{1/n}\leq n\dfrac{c_{\rm max}}{|c_1|} \leq (n+1) \dfrac{c_{\rm max}}{|c_1|}$.
Es esto correcto?
