Convergencia de pointwise y débil en un espacio de $L^2$

Question

Deje que$I$ sea un espacio medido (generalmente un intervalo de$\Bbb R$ con la medida de Lebesgue), y deje que$(f_n)_n$ sea una secuencia de función de$L^2(I)$.

Supongamos que la secuencia$(f_n)$ converge puntualmente y débilmente. ¿Cómo probar que el límite puntual y el límite débil son los mismos?

Answer 1

He aquí un funcional de la metodología analítica:

Débilmente convergente de la secuencia en un espacio de Hilbert $H$ es acotado, y por el de Banach-Saks teorema tiene una larga cuya Cesàro promedios convergen fuertemente en $H$ para el mismo límite. Casi seguro que la convergencia es preservada por tomar las subsecuencias y Cesàro promedios. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad se puede suponer que su débilmente convergente de la secuencia es en realidad fuertemente convergentes.

Fuerte $L^2$ convergencia y casi seguro de convergencia implica la convergencia a nivel local en la medida, por lo que sólo necesita mostrar que tales límites son únicos, que es fácil.

Answer 2

Lee la prueba en la página 266 de este libro.

Answer 3

Siguiente Byron Schmuland podemos decir:

1) Por el de Banach-Saks teorema, débilmente convergente de la secuencia, en un espacio de Banach, tiene una larga cuya Cesàro promedios convergen fuertemente con el mismo límite.

2) En un $L^p$ espacio, fuerte convergencia implyes pointwise una convergencia.e. para una larga;

3) Pointwise una convergencia.e. se conserva por tomar las subsecuencias y Cesàro promedios.

4) Para Pointwise una convergencia.e. hemos unicidad de los límites.

Así que podemos concluir que, en $L^p$, la debilidad de la convergencia a $f$ y pointwise convergencia a $g$, implican $f=g$.

Answer 4

Supongamos que$f_n \rightharpoonup g$ y$f_n \rightarrow f$ ae Entonces \begin{equation} | \int_{I} (f-g)| \le \int_{I} |f_n - f| + \int_{I} |f_n - g| \end {equation} Como$f_n \rightharpoonup g$, e$1 \chi \{I\} \in L^{2}(I)$ tenemos \begin{equation} \int_{I} |f_n - g| \rightarrow 0. \end {equation} Ahora, note que \begin{equation} |f_n -f| \le |f_n| + |f| < 2|f| + \varepsilon. \end {equation} para$n>>1$. Luego, por el Teorema de convergencia dominada \begin{equation} \int_{I} |f_n - f| \rightarrow 0. \end {equation} De ahí$f=g$ ae