Interior, exterior y límite de conjuntos en$\mathbb R^2$

Question

¿Puede alguien enseñarme cómo encontrar el interior, el exterior y el límite de estos dos conjuntos en el plano,$\mathbb R^2$? La métrica es$d_2 (x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2 +(x_2-y_2)^2}$, donde$x = (x_1, x_2)$ y$y = (y_1, y_2)$.

$A = \{(x,y): xy \neq 0\}$

$B = \{(x,y):x^2+y^2 <1 \text{ and } x,y \in \mathbb Q\}$

Es realmente confuso para mí. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Desde $xy \neq 0$ si y sólo si $x \neq 0$$y \neq 0$. Por lo tanto $A$ $\mathbb{R}^2$ falta el $x$ $y$ eje. $A$ está abierto. De ahí su interior es $A$, sí. El exterior es el interior del complemento de $A$. El complemento de $A$ es sólo la unión de las $x$ $y$ eje. No contiene el conjunto abierto, por lo que ha vacío interior. El exterior de $A$$\emptyset$. El límite es el conjunto de todos los puntos tales que en cada barrio se cruza con $A$ y su complemento.El único punto con estas propiedades es la unión de las $x$ $y$ eje.

Answer 2

Por lo general, cuando los conjuntos de tales expresiones es muy útil para comprobar si se trabaja con funciones continuas es posible, como en el caso de $A$.

Tenga en cuenta que si $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ está dado por $f(x,y)=xy$, $f$ es continua y $A=f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{0\})$. Por lo tanto $A$ está abierto como una preimagen de un conjunto abierto en virtud de una función continua. Por lo $A$ es igual a su propio interior. Además, para cualquier punto en el plano con $x=0$ o $y=0$ el open de bola de $B((x,y),r)$ contiene puntos de a $(a,b)$ tal que $ab\neq 0$. Por lo tanto el límite de $A$ se compone de la $x$-eje y el $y$-eje. Esto deja el exterioir de $A$ a estar vacío.

Tenga en cuenta que $B=B(\bar{0},1)\cap \mathbb{Q}^{2}$ donde $B(\bar{0},1)$ es la $1$-radio de la bola alrededor de origen $\bar{0}$. Por lo $B$ es básicamente racional de coordenadas de puntos de la apertura de la unidad de pelota. El interior de $B$ está vacía ya que no contiene abrir bolas: cada bola abierta en $\mathbb{R}^{2}$ contiene puntos con irracional coordenadas y racional de las coordenadas. Dicho esto, todos los abiertos de la bola alrededor de un punto en $C:=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ tiene un no-vacío intersección con $B$. Esto implica que $C$ es un subconjunto de a $B$'s de límite. Desde el interior de la $B$ está vacía, entonces el límite de $B$ es igual a su cierre $\mathrm{cl}(B)$. Ahora desde $C$ es cerrado y $B\subset C\subset \mathrm{cl}(B)$ se sigue que $C$ es de hecho, la totalidad de cierre (ya que el cierre es el menor conjunto cerrado que contiene a $B$), y por lo tanto el límite de $B$$C$. Finalmente, en el exterior de $B$ es lo que queda en $\mathbb{R}^{2}$, es decir, el conjunto $\{(x,y):x^{2}+y^{2}>1\}$.