Prueba de que el impulso de energía El tensor de la teoría del campo escalar satisface una condición de energía débil

Question

Es una cuestión de Sean Carroll, del espacio-Tiempo y la Geometría, donde se supone que vamos a demostrar que el tensor de inercia de energía de escalar la teoría del campo satisface Débil Condición de Energía (WEC). El tensor de inercia de energía es

$$T_{\mu\nu}=\nabla_{\mu}\phi\nabla_{\nu}\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\left(\nabla_{\lambda}\phi\nabla^{\lambda}\phi+V(\phi)\right),$$

y la condición para el WEC es

$$T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu \geq 0,$$

donde $U^\mu$ es arbitrario no spacelike vector(=timelike o nulo).

Pero, ¿cómo puede ser probado cuando no se conocen las propiedades del campo escalar de variable $\phi$ y el potencial de $V(\phi)$?

Answer 1

No tengo el libro, así que no puedo comprobar su hipótesis, por lo que este podrían no responder a su pregunta, ya que usted está preguntando acerca de la arbitrario 4 vectores $U^{\mu}$, pero voy a ofrecer en caso de que alguna de que sea útil. En la demostración de la débil condición de energía (que es parte del camino para demostrar la energía dominante), el 4 vectores en cuestión son timelike. Si este es el caso, yo podría tratar el siguiente:

Suponga que una firma (- + + + )

Comenzando con $$T_{\mu\nu}=\nabla_{\mu}\phi\nabla_{\nu}\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\left(\nabla_{\lambda}\phi\nabla^{\lambda}\phi+V(\phi)\right)$$

si $U^{\mu}$ es timelike y el futuro apunta, entonces, en cualquier momento dado podemos trabajar en un ortonormales marco para el que los componentes se $U^{\mu}=(1,0,0,0)$

Si luego demostrar la positividad de $T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}$ en ese marco, a continuación, se va a celebrar en un marco, ya que es un escalar.

Así, el uso de los componentes de $U^{\mu}$, obtenemos

$$T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}=(\nabla_{0}\phi)^{2}+\frac{1}{2}(g^{\lambda\rho}\nabla_{\lambda}\phi\nabla_{\rho}\phi+V(\phi))$$

$$=\frac{1}{2}(\nabla_{0}\phi)^{2}+\delta^{ij}\nabla_{i}\phi\nabla_{j}\phi+V(\phi)$$

Así se disponga $V(\phi)$ es positiva y $\phi$ es un verdadero campo (lo cual es seguramente de lo contrario habría tenido complejos conjugados en el tensor de inercia de energía), entonces en ese marco, en ese punto de $T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}$ es positivo.

Pero esto es sólo la débil energía de la condición de que tendría que trabajar un poco más difícil de probar en la energía dominante condición.

Answer 2

Siempre se puede aumentar para hacer que el vector U ser el eje de tiempo (cuando es estrictamente spacelike) y, a continuación, la expresión para la densidad de energía que puede ser escrito de forma explícita

$$ T_{00} = {1\over 2} \dot{\phi}^2 + {1\over 2} |\nabla\phi|^2 + V(\phi) $$

Esta expresión se encuentra sustituyendo 0 para los índices, y el explícito de Minkowski forma o el tensor métrico. Todas las contribuciones son manifiestamente positiva definida (suponiendo que V está delimitado por debajo). la primera contribución es el campo de la energía cinética, la segunda es el gradiente de campo potenetial de energía, y el tercero es el valor del campo de la energía potencial. Demostrar la desigualdad null vectores se puede hacer mediante la adopción de un límite del vector de convertirse en null.