Demuestre que si$s_n ≤ b$ para todos, pero finamente muchos$n$, entonces$\lim s_n ≤ b$.

Question

La pregunta me pide que pruebe que si$s_n ≤ b$ para todos, pero finamente muchos$n$, entonces$\lim s_n ≤ b$ donde$(s_n)$ sea una secuencia que converge. . Aquí es cómo lo hice, pero no estoy seguro de si es del todo correcto. Utilicé la prueba por contradicción.

Supongamos que$\lim s_n>b$ y$s_n \leq b$ para todos, pero finamente muchos$n$. Dejar $S=\lim s_n$. Por definición, tenemos para cada$n>N$ que implica$|s_n-s|<\epsilon$. Dejar $\epsilon= b-2s+s_n$. Ahora obtenemos$s_n-s<\epsilon=b-2s+s_n$ que se simplifica a$s<b=\lim s_n<b$, lo cual es una contradicción.

Answer 1

Su idea de la prueba por contradicción podría ser mejor modificado de la siguiente manera:

Si el límite de $s_n$ es mayor que $b$, puede ser escrito como $b+c$ algunos $c \in \mathbb{R}^{+}$.

Dado que este es el límite de la secuencia, podemos encontrar infinidad de $s_n$ que son arbitrariamente cerca de $b+c$; en particular, podemos encontrar infinidad de $s_n$ que son mayores de $b$, lo que se contradice con el dado que sólo hay un número finito de estos $s_n$.

Por lo tanto, nuestra suposición de que el límite es mayor que $b$ debe haber sido incorrecta, por lo tanto el límite es menor que o igual a $b$ como se desee. QED