Las razones de dos variables normalmente distribuidas (por ejemplo, X / Y) no tienen momentos (por ejemplo, medias y variaciones) porque Y puede tener valores cero. Sin embargo, las variables lognormales no tienen valores cero. ¿Cómo puedo calcular la media y la varianza de la proporción de dos variables lognormales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $\log(X/Y) = \log(X) - \log(Y)$. Desde $X$ $Y$ son lognormally distribuido, $\log(X)$ $\log(Y)$ están distribuidos Normalmente.
Voy a asumir que $\log(X)$ $\log(Y)$ medios $\mu_X$$\mu_Y$, variaciones $\sigma^2_X$$\sigma^2_Y$, y la covarianza $\sigma_{XY}$ (igual a cero si $X$ $Y$ son independientes), y conjuntamente están distribuidos normalmente. La diferencia $Z$ luego se distribuye normalmente con una media de $\mu_Z = \mu_X - \mu_Y$ y la varianza $\sigma^2_Z = \sigma^2_X + \sigma^2_Y - 2\sigma_{XY}$.
Para volver a $X/Y$, tenga en cuenta que $X/Y = \exp Z$, mostrando que el $X/Y$ es en sí mismo lognormally distribuido con los parámetros de $\mu_Z$$\sigma^2_Z$. La relación entre la media y la varianza de una logarítmico-normal de la variable aleatoria y la media y la varianza de la normal correspondiente de la variable aleatoria es:
$\mathbb E(X/Y) = \mathbb E e^Z = \exp \{\mu_Z + \frac{1}{2}\sigma^2_Z \}$
$\mathrm{Var}(X/Y) = \mathrm{Var}(e^Z) = \exp \{2\mu_Z + 2\sigma^2_Z\} - \exp \{2\mu_Z + \sigma^2_Z\} \>.$
Esto puede ser más fácilmente obtiene considerando el momento de generación de la función de la distribución normal con una media de $\mu_Z$ y la varianza $\sigma^2_Z$.
