Existencia de una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Question

Me he encontrado con este problema en mis deberes de ecuaciones diferenciales:

¿Existe una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden de la forma $$y''+ p(x)y' + q(x)y= 0$$ tal que $ p(x) $ y $ q(x) $ son continuas en toda la línea real que tiene tanto $ f(x) = \cos(x) $ y $ g(x) = e^{x^2} $ como soluciones?

Tengo la solución general de $ y = c_1\cos(x) + c_2e^x $ y el $ y' $ y $ y'' $ de esta función. Supongo que tengo que combinar el $ y, y', $ y $ y'' $ pero tengo problemas para cancelar las constantes resultantes. ¿Algún camino o método sugerido?

Answer 1

Establecer $y_1=f$ , $y_2=g$ . Usted quiere $$\begin{bmatrix}q(x)\\p(x)\\1\end{bmatrix}^\top \begin{bmatrix}y_i(x)\\y_i'(x)\\y_i''(x)\end{bmatrix} = 0 \qquad\text{for}\ i\in\{1,2\}$$ Así que busca un vector $[q(x),p(x),1]$ cuyo producto punto con dos vectores dados es cero. Pues bien, eso es lo que hace el producto cruzado es para: Establecer $$\begin{bmatrix}w(x)\\v(x)\\u(x)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y_1(x)\\y_1'(x)\\y_1''(x)\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}y_2(x)\\y_2'(x)\\y_2''(x)\end{bmatrix}$$ Gives you functions $w,v,u$ such that $$u(x)\,y_i''(x) + v(x)\,y_i'(x) + w(x)\,y_i(x) = 0 \qquad\text{for}\ i\in\{1,2\}$$ and dividing by $u(x)$ should give you $$\begin{align} p(x) &= \frac{v(x)}{u(x)} & q(x) &= \frac{w(x)}{u(x)} \end{align}$$ El problema es que $u(x)$ puede ser cero para algunos $x$ y que $p$ o $q$ podría tener algunas singularidades no removibles allí. Eso violaría el requisito de que $p,q$ sea continua en el todo línea real.

De hecho, en el caso dado, hay infinitas $x_k$ tal que $u(x_k)=0$ (se deja como ejercicio). Esto implica $$\begin{bmatrix}y_1(x_k)\\y_1'(x_k)\end{bmatrix} = \lambda_k\begin{bmatrix}y_2(x_k)\\y_2'(x_k)\end{bmatrix} \qquad \lambda_k = \frac{y_1(x_k)}{y_2(x_k)}$$ (utilizando el hecho de que $y_2(x)=g(x)=\exp(x^2)$ es distinto de cero en todas partes) y por lo tanto, si la EDO se mantiene en $x_k$ con un continuo $p$ y $q$ , tendríamos $$\begin{gather} p(x_k)\,y_1'(x_k) + q(x_k)\,y_1(x_k) = \lambda_k\left(p(x_k)\,y_2'(x_k) + q(x_k)\,y_2(x_k)\right) \\\therefore\quad y_1''(x_k) = \lambda_k y_2''(x_k) \end{gather}$$ y en conjunto $$\begin{bmatrix}y_1(x_k)\\y_1'(x_k)\\y_1''(x_k)\end{bmatrix} = \lambda_k\begin{bmatrix}y_2(x_k)\\y_2'(x_k)\\y_2''(x_k)\end{bmatrix}$$ Pero entonces el producto cruzado sería un triple de ceros. En otras palabras, siempre que $u(x_k) = 0$ También necesita $v(x_k)=0$ y $w(x_k)=0$ , de lo contrario, la EDO no puede cumplirse con la continuidad $p$ y $q$ en esos $x_k$ . Te dejo que compruebes esas condiciones. Sugerencia: Comprobación $x=0$ es fácil.

Answer 2

En pocas palabras $f(x)$ y $g(x)$ en la ecuación para obtener $$-\cos x-p\sin x+q\cos x=0\\ (2+4x^2)e^{x^2}+2xe^{x^2}p+e^{x^2}q=0$$ Por lo tanto, $$\frac{q-1}p=\tan x\\ 2+4x^2+2xp+q=0$$ Y puedes encontrar $p,q$ resolviendo estas dos ecuaciones no lineales.