En $\int_0^1\frac{\log^2(x)}{1+x^3}dx$ y $\zeta(3)$

Question

Cuando estaba jugando con Wolfram Alpha sobre la integral $$\int_0^1\frac{x^{s-1}}{1+x^2}dx$$ y sus derivadas, ya que conozco la relación entre la constante de Apéry y valores particulares de la función poligama, y como presumo que esta forma será conocida, encontré jugando con el código una forma cerrada para esto $$\int_0^1\frac{\log^2(x)}{1+x^3}dx$$ ver este código

integrar 1/(1+x^3)(log^2(x))dx, desde x=0 hasta x=1

en el calculadora en línea . No soy capaz de conseguir fácilmente los cálculos para $$\int\frac{\log^2(x)}{1+x^3}dx$$ y después evaluarla como una integral definida. ¿Y tú?

Pregunta. Esta puede ser una buena integral para este viernes. ¿Puedes demostrar la forma cerrada para $$\int_0^1\frac{\log^2(x)}{1+x^3}dx?$$ Gracias de antemano.

Answer 1

Reclamación : $$ \int_{0}^{1}\frac{\log^2(x)}{1+x^3}\,dx = \color{red}{\frac{5\pi^3}{81\sqrt{3}}+\frac{13\zeta(3)}{18}}.\tag{0}$$

Prueba : ya que $$ \int_{0}^{1}\frac{x^s}{1+x^3}\,dx = \frac{1}{6}\left[\psi\left(\frac{s+4}{6}\right)-\psi\left(\frac{s+1}{6}\right)\right]\tag{1} $$ la respuesta sólo depende de $\psi''\left(\frac{2}{3}\right)-\psi''\left(\frac{1}{6}\right)$ . En particular, $(0)$ se deduce aplicando el operador diferencial $\frac{d^3}{dz^3}\log(\cdot)$ a la fórmula de reflexión y a la fórmula de duplicación para el $\Gamma$ y, a continuación, se evalúa en $z=\frac{1}{3}$ . Esto parece ser una generalización más del resultado mostrado aquí sobre los valores del $\eta$ en los enteros positivos de impar.

Answer 2

Expandiendo el denominador y realizando la integral

$$\int_0^1 dx \, x^{3 k} \log^2{x} $$

en cada término de la suma, encontramos que la integral es igual a

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(3 k+1)^3} $$

Esto es lo más lejos que voy a llevar.