Acerca de la restricción lineal mapa

Question

Deje $A$ ser lineal en el mapa desde el espacio vectorial $X$ $Y$ $T$ser un subespacio de $X$ . Yo quiero entender lo que es el significado de decir que la restricción $A_{|T}: \to A(T)$ es invertible. Podía alguien me explique ¿qué es este mapa de restricción?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Una forma de pensar acerca de esto es que si $t$$t'$$T$, $A(t)=A(t')$ implica que el $t=t'$.

El mapa de $A_{|T}$ sólo está definido en $T$, pero en todas partes en $T$, pasa lo mismo que $A$. Si $t\in T$,$A_{|T}(t)=A(t)$.

Aquí es un ejemplo familiar, aunque no en un álgebra lineal ajuste. Deje $f(x)=x^2$, para el conjunto de $A$ de todos los números reales. A continuación, $f(x)$ a no es invertible, porque, por ejemplo,(-2)^2=2^2$.

Pero si queremos restringir $x$ para el conjunto de $T$ de los no-negativos reales, la restricción de $f$$T$, lo que podríamos llamar"$f_{|T}$, es invertible. Si por ejemplo sabemos que la $f_{|T}(x)=9$, entonces sabemos que $x=3$.

Answer 2

Esto se aplica a una función entre conjuntos, en general, no sólo a los espacios vectoriales.

Dado $f:X \rightarrow Y$ y un subconjunto $T \subset X$, la restricción $f_{|T}:T \rightarrow Y$ es, por definición,$f_{|T}(x) = f(x)$. Es decir, la función es la misma, excepto que su dominio está restringido.

Si $f$ es lineal en el mapa (o cualquier tipo de homomorphism), su restricción también será uno por herencia.

Answer 3

Cuando restringimos una función a un subconjunto del dominio significa que estamos interesados ahora en lo que la función está haciendo a ese subconjunto. No nos importa lo $A(x)$ es al $x\notin T$.

Decir que es invertible, es decir, que incluso si $A$ sí no es invertible, como una función, cuando se considera sólo a lo $A$ lo hace a los elementos de la $T$, podemos invertir la función.

Es decir, no existe $B\colon A(T)\to T$ tal que $B(A(t))=t$ por cada $t\in T$. Esta condición puede ser falsificado cuando consideramos $A$'s de acción en $X$ sí, sin embargo, pero esto no es lo que hemos venido a buscar.