La matriz $A^2+A+m.I_n$ es no singular si $\mbox{ gcd }(m,\det\,A)=1$.

Question

Deje $A\in M_{n}(\Bbb{Z})$, $m>1$ tal que $\mbox{ gcd }(m,\det\,A)=1$. Demostrar que la matriz de $A^2+A+m.I_n$ es no singular

He intentado como esto: Supongamos $\lambda$ ser cualquier autovalor de a$A$. Entonces es suficiente si se puede mostrar $\lambda^2+\lambda+m\neq0$. Pero cómo conectar esta con $\mbox{ gcd }(m,\det\,A)=1$.

Answer 1

Si $A^2+A+mI_n$ es singular, entonces $A$ tiene un autovalor $\lambda$ tal que $\lambda^2+\lambda+m=0$. Debido a $X^2+X+m$ es irreducible sobre $\Bbb{Z}$, esto significa $X^2+X+m$ divide el polinomio mínimo de a$A$, que a su vez divide el polinomio característico. A continuación, $m$ divide el término constante del polinomio característico de a$A$, que es $\det A$, y por lo $\gcd(m,\det A)=m>1$.