La convergencia de la integral de la $\int_0^\infty f(x)\frac{xf'(x/(1-1/N))}{f(x/(1-1/N))}\ \mathsf dx$ $N\to\infty$

Question

¿Cómo se puede calcular esta integral $$\lim_{N \to \infty} \int_{x=0}^{\infty}f(x) \frac{x f'\left(\frac{x}{1-1/N}\right)}{f\left(\frac{x}{1-1/N}\right)} dx$$ where $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad?

Si existe una función de $g(x)$ tal que $$\Bigg|f(x) \frac{x f'\left(\frac{x}{1-1/N}\right)}{f\left(\frac{x}{1-1/N}\right)}\Bigg|< g(x)$$ for all $$ N, entonces Puedo usar el Teorema de Convergencia Dominada. Pero puedo calcular la integral sin una suposición? Estoy pensando que tal vez la función de probabilidad $f(x)$ tiene algunas características que podrían ayudar. Alguna idea?

Answer 1

No es realmente un matemáticamente riguroso respuesta, pero demasiado largo para un comentario. El cambio de las variables de $x/(1-1/N)=\tau$. Tenemos $$ \lim_{N \to \infty} \int_{x=0}^{\infty}f(x) \frac{x f'\left(\frac{x}{1-1/N}\right)}{f\left(\frac{x}{1-1/N}\right)} dx=\lim_{N \to \infty} \left[(1-1/N)^2\int_{x=0}^{\infty}f((1-1/N)\tau) \frac{\tau'f\left(\tau\right)}{f\left(\tau\right)} d\tau\right]\ . $$ Entonces moralmente la función de $f((1-1/N)\tau)$ puede ser de Taylor-que se expandió por $N\to\infty$ $$ f((1-1/N)\tau)\aprox f(\tau)-\frac{1}{N}f'(\tau)\tau+\frac{1}{2N^2}f"(\tau)\tau^2-\ldots\ , $$ por lo tanto, el tratado de límite debe ser $$ \int_0^\infty d\tau\ \tau f'(\tau)=-\int_0^\infty d\tau\ f(\tau)=-1\ , $$ cuando uno utiliza la integración por partes, y se supone que $f(\tau)\to 0$ $\tau\to\infty$ $\int_0^\infty d\tau f(\tau)=1$ por la normalización de los pdf. Este resultado se puede comprobar fácilmente explícitamente en un par de casos, como en el $f(x)=\exp(-x)$ o $f(x)=\frac{2/\pi}{1+x^2}$.