Lo que está mal con este argumento para la búsqueda de Aut($\mathbb{Z_p} \times \mathbb{Z_p}$)?

Question

Sé que Aut($\mathbb{Z_p} \times \mathbb{Z_p}$) $\simeq$ $GL_2(p)$, y así ha pedido $p(p^2-1)(p-1)$.

Lo que significa que algo está mal con el siguiente argumento:

Un automorphism $\phi$ está determinado por su valor en los dos elementos generadores de $(1,0) $ and $(0,1)$ of $\mathbb{Z_p} \times \mathbb{Z_p}$.

Estos deben ser enviados a los elementos de la misma orden, $p$. De hecho, cada elemento distinto de cero de a $\mathbb{Z_p} \times \mathbb{Z_p}$ orden $p$, por lo que hay $p^2-1$ opciones para que cada generador debe ir. Por lo tanto el número de automorfismos es $(p^2-1)^2$.

Así que me he overcounted por $(p^2-1)(p-1)$; me imagino que algunos de los homomorphisms en mi argumento no fueron distintas, o no isomorphisms. hay una manera fácil de rectificar para la overcounting? O tenemos que tirar todo el argumento?

Answer 1

Realmente te han contado homomorphisms que no son isomorphisms.

Usted está en lo correcto en decir que hay $p^2-1$ opciones para donde uno de los generadores, decir $(1,0)$, se asigna. Sin embargo, una vez que han escogido y que, también han determinado las imágenes de $(2,0)$, $(3,0)$, $\dots$, $(p-1,0)$. Usted no puede asignar el segundo generador de la misma cosa como la de cualquiera de los elementos enumerados, por lo que este excluye $p-1$ elementos. Por supuesto, también queremos excluir $0$, de modo que las hojas $p^2-p$ alternativas para el segundo generador está asignado.

Esto le da la orden correcto, $(p^2-1)(p^2-p)$.