Una variación de Ahmed integral de

Question

Dado que la forma cerrada de existir, a evaluar la siguiente Integral:

$$\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \frac{(x^2+4)\sin^{-1}x}{x^4-12x^2+16} \, dx$$

Answer 1

Desde: $$\frac{z+4}{z^2-12 z+16} = \frac{\bar{\varphi}}{z-(2\bar\varphi)^2}+\frac{\varphi}{z-(2\varphi)^2}\tag{1}$$ la integral puede ser calculada mediante la explotación de las relaciones entre el dilogarithm y la proporción áurea, es decir, Landen la identidad. Un primer paso de fracción parcial de la descomposición seguido por integración por partes nos lleva a:

$$I = \frac{\pi\log 5}{8}+\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\frac{4-2\sin(t)-\sin^2(t)}{4+2\sin(t)-\sin^2(t)}\right)\,dt \tag{2}$$ y si reemplazamos $t$ $\frac{\pi}{2}-2\arctan u$ obtenemos: $$I = \frac{\pi\log 5}{8}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\log\left(\frac{1+10v^2+5v^4}{5+10v^2+v^4}\right)\frac{dv}{1+v^2}\tag{3}$$ donde la última integral es un dilogarithmic integral, es decir, la parte imaginaria de $$\text{Li}_2\left[i\left(1-\sqrt{5}+\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\right)\right]+\text{Li}_2\left[i\left(1+\sqrt{5}-\sqrt{5+2 \sqrt{5}}\right)\right]\tag{4}$$ que es un valor especial de la Clausen función de $\text{Cl}_2$. También es útil observar que: $$\frac{1+10v^2+5v^4}{5+10v^2+v^4}=\frac{v}{\tanh(5\text{arctanh}(v))}. \tag{5}$$