Condiciones para que un núcleo de un operador acotado ser complementada

Question

Soy bien consciente de que el problema de la complementación de los subespacios de espacios de Banach como se ha discutido aquí y aquí .

Sin embargo, me pregunto si hay condiciones para la existencia de un complemento de $M$ al kernel $N$ de un almacén lineal operador $T:V\to Q$. Es decir, bajo qué condiciones existe un subespacio cerrado $M\subset V$ tal que $N \oplus M = V$?

En mi caso en particular, el operador $T\colon V \to Q$ cumple estas propiedades equivalentes:

• $T'\colon Q' \to V'$ es un homeomorphism en su gama
• $T'$ es inyectiva y tiene un intervalo cerrado
• $T$ es surjective
• $T$ tiene un almacén de derecho inversa (yo estaba equivocado aquí, ver comentarios más abajo)

Alguna idea?

Descargo de responsabilidad: Esto se relaciona con el problema que he publicado el día antes.

EDIT: yo además de asumir que el $V$ $Q$ son reflexivos y separables.

ACTUALIZACIÓN: he respondido a las preguntas, con base en los comentarios.

Answer 1

Permítanme resumir los comentarios y mis conclusiones para responder a esta pregunta:

Después de haber leído a través de esta encuesta y algunos de los documentos anteriores, he llegado a la conclusión de que la condición de $T\colon V\to Q$ ser delimitada y surjective no implica que $\ker T$ es complementable. Asumir el contrario, luego

• Para cualquier $N$ subespacio de $V$, uno puede tomar la $Q:= V/N$ naturales y la surjection $T\colon V \to Q=V/N$ tener $N$ como el núcleo
• Por el acotamiento de $T$ ha $V$ separables, a continuación, $Q$ separables
• Como $Q$ es un cociente de un espacio de una reflexiva espacio de Banach, $Q$ es reflexiva, cf. Palmer del libro (páginas 79)
• y así, uno tendría el resultado contradictorio que cada subconjunto cerrado de un separables y reflexiva B-espacio tiene un complemento

Esto es equivalente a $V$ isomorph a una de Hilbert-espacio, cf. la discusión aquí. Y se sabe que esto no sea cierto para $L^p$ espacios, $p\neq2$, ver este papel.