Definición de colector

Question

NO UN DUPLICADO: El homeomorfismo en la definición de un colector por ejemplo, es ligeramente diferente.

Según la Wikipedia, un libro de Spivak y varios otros libros, un múltiple tiene lo siguiente en común:

$\forall x\in M\exists n\in\mathbb{N}_{\ge 0}\exists U$ barrio de $x$ tal que $U$ es homeomorfo a (un subconjunto abierto) de $\mathbb{R}^n$

No me gusta la parte del "barrio" como:

Un conjunto $U\subseteq M$ es una vecindad de $x$ si $\exists V$ abrir en $M$ con $[x\in V\wedge V\subseteq U]$

No hay ningún requisito para $U$ para estar abierto. Podría estar cerrado.

El problema:

Supongamos que $U$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ mediante una función $f:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ sabemos que $f$ es biyectiva y continua por definición. Esto significa que es sobreyectiva. Así, $f^{-1}(\mathbb{R}^n)=U$

Por la continuidad de $f$ esto significa que $U$ está abierto en $M$

Esto es una contradicción, ya que $U$ no tiene por qué estar abierto.

Estaría mucho más contento si la definición fuera "existe un conjunto abierto que contiene $x$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$

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El subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ parte

La definición requiere que exista una vecindad (no todas las vecindades) homeomórfica a $\mathbb{R}^n$ es lo mismo que exigir que la vecindad sea homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ ?

Pensamientos:

Entiendo que cualquier intervalo abierto (en $\mathbb{R}$ ) es homeomorfo a todas las $\mathbb{R}$ sin embargo la unión de dos intervalos distintos es abierta pero no homeomorfa a todo $\mathbb{R}$ Utilizando este tipo de lógica, sugiere que:

Requiero (probablemente a través de la propiedad Hausdorff) la capacidad de encontrar un conjunto abierto conectado lo suficientemente pequeño (sospecho). Entonces los dos serían equivalentes.

Podría demostrarlo si asumo que la variedad tiene una base topológica contable (porque entonces es metrizable y puedo usar bolas abiertas) pero me gustaría demostrarlo para todas las variedades.

Answer 1

El problema de la casilla que has etiquetado como "Problema" no es un problema: el gráfico $f$ se requiere que sea continua en $U$ pero no en $M$ Así que $f^{-1}(\mathbb{R}^n)$ podría cerrarse en $M$ (aunque también estará siempre abierta). El subespacio topológico $\{0, 1\} \times (0, 1)$ de $\mathbb{R}^2$ es un $1$ -en el que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa con $\mathbb{R}$ y es tanto abierto como cerrado.

No hay ninguna diferencia esencial en la definición de un $n$ -manifiesto si requiere que los dominios de los gráficos sean vecindades o vecindades abiertas o si requiere que los rangos de los gráficos sean subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ o la totalidad de $\mathbb{R}^n$ cualquier punto de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ tiene un vecindario que es homeomorfo con el conjunto de $\mathbb{R}^n$ Esto significa que si $M$ es un espacio topológico y $x$ es un punto de $M$ entonces $x$ tiene una vecindad homeomórfica con $\mathbb{R}^n$ si para algún abierto $V \subseteq \mathbb{R}^n$ , $x$ tiene una vecindad homeomórfica con $V$ .

Answer 2

Para un colector topológico, $M$ con topología $\mathcal{J}$

He hecho la mitad de la pregunta. He demostrado que:

$\forall x\in M\exists V\text{ neighbourhood of }x\exists n\in\mathbb{N}_{\ge0}[x\in V\wedge V\cong\mathbb{R}^n]$
$$\iff$$ $\forall x\in M\exists U\in\mathcal{J}\exists n\in\mathbb{N}_{\ge 0}[x\in U\wedge U\cong\mathbb{R}^n]$

Que es la primera mitad hecha.

Escribiré la prueba más tarde, ahora mismo estoy haciendo otras cosas, pero esto está demostrado, no se trata de una palabrería, ¡está formalmente demostrado!

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La segunda parte es esa:

$\forall x\in M\exists U\in\mathcal{J}\exists n\in\mathbb{N}_{\ge 0}\exists V[V\in\mathcal{O}(\mathbb{R}^n)\wedge x\in U\wedge U\cong V]$ $$\iff$$ $\forall x\in M\exists U\in\mathcal{J}\exists n\in\mathbb{N}_{\ge 0}[x\in U\wedge U\cong\mathbb{R}^n]$

He esbozado esto pero no lo he completado.

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Con estos dos hechos un colector es un colector sin importar:

1. qué noción de vecindad utiliza
2. Lo que usted exige un barrio es homeomorfo a

Escribiré la prueba más tarde, he hecho una en papel