Automorphism de $K$ se extiende a $K[x_1,\dots,x_n]$.

Question

Creo que es bien sabido que si $K$ es de campo, y $\sigma \in Aut(K)$, a continuación, el mapa ampliado $\sigma: K[x,y] \rightarrow K[x,y]$, dado por $\sum a_{ij}x^iy^j \mapsto \sum \sigma(a_{ij})x^iy^j$ es un isomorfismo.

Demostrando que

$$\sigma(f(x,y)\cdot g(x,y))=\sigma(f(x,y))\cdot \sigma(g(x,y))$$

fue particularmente difícil para mí. Tuve que jugar un poco con el monomials de $f$$g$, y organizarlos de una forma adecuada. Yo ni siquiera sé si se puede extender el procedimiento a el general anillo de $K[x_1,\dots,x_n]$.

Me preguntaba si alguien sabe de una alternativa (de preferencia cuidada) prueba de
$\sigma(fg)=\sigma(f)\sigma(g)$

Answer 1

La manera correcta de hacer esto es para invocar el universal propiedad del polinomio anillo. Si $R$ es cualquier anillo conmutativo con identidad y $S=R[X_1,\ldots,X_n]$, $S$ es caracterizado hasta isomorfismo por la siguiente propiedad: para cada anillo conmutativo $R^\prime$ con identidad y cada anillo homomorphism $\varphi:R\rightarrow R^\prime$ envío de $1_R$ $1_{R^\prime}$y cualquier $n$ elementos $r_1^\prime,\ldots,r_n^\prime$, hay un anillo único homomorphism $\psi:S\rightarrow R^\prime$ $\psi(r)=\varphi(r)$ para cada una de las $r\in R$$\psi(X_i)=r_i^\prime$.

Esta es la manera en que se definen homomorphisms de polinomio anillos. Así que, en su caso, la que se llevaría $R=k$ $R^\prime=S$ y deje $k\rightarrow S$ ser el automorphism de $k$, $\sigma$, seguido por la inclusión $k\hookrightarrow S$. Esto se extiende únicamente a un anillo homomorphism $\psi:S\rightarrow S$ la restricción de a $\sigma$ $k$ y el envío de cada una de las $X_i$$X_i$, por la universal de los bienes, y se puede comprobar directamente que es un automorphism porque $\sigma$ es un automorphism (también se puede comprobar que es el mapa que quieras, la aplicación de $\sigma$ a cada uno de los coeficientes de un polinomio). Pero no es necesario para comprobar que el $\psi$ es un homomorphism. Es un homomorphism por definición.

Answer 2

Sugerencia
$$K[x_1,\cdots,x_n] = K[x_1][x_2,\cdots,x_n] = K[x_1][x_2]\cdots[x_n]$$

Si usted probar esto, y utilizar lo que demostró en el caso de una variable, entonces por inducción se puede extender $\sigma$ $n$ veces.