$g : [0,1]\to\Bbb R$ es una función cóncava con $g(0) =0$$g(1)= \beta$. Mostrar que $g(z) \geq \beta z$, $z \in [0,1]$.

Question

Me encontré con el siguiente, deje $g : [0,1] \to \Bbb R$ ser una función cóncava con $g(0) =0$$g(1)= \beta$. Esto implica $g(z) \geq \beta z$, $z \in [0,1]$. ¿Por qué es la declaración de $g(z) \geq \beta z$ verdad?

Answer 1

La secante de la línea de $[0,1]$ es

$$y-0= {\beta -0\over 1-0}(x-0)$$

Por definición de concavidad, la secante de la línea que está debajo de la gráfica de la función en el intervalo, por lo que el resultado inmediato de la siguiente manera.

Answer 2

Por definición de concavidad en el intervalo de $[0,1]$, para cualquier $\forall \lambda \in [0,1]\,$:

$$ g\big((1 - \lambda) \cdot 0 + \lambda \cdot 1\big) \;\ge\; (1-\lambda) \cdot g(0) + \lambda\cdot g(1) $$

Escrito el anterior para $\lambda = z \in [0,1]\,$ $\,g(0)=0\,$ $\,g(1)=\beta\,$ da $\,g(z) \ge z \cdot \beta\,$.