Estoy tratando de demostrar (o refutar y mejorar si es posible) que la secuencia de $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ donde $a_0$ es un número impar mayor que 1 contiene un número infinito de números primos. Sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar una solución de forma cerrada para no-lineal definición recursiva. Sé que si estamos tratando con un lineal de la recurrencia de la relación, nos íbamos a encontrar las raíces del polinomio característico y resolver de esa manera. Por lo que he intentado hacer algo similar esta vez por dejar que $2f(x+1)=f(x)^2+1$ $=>$ $f'(x+1)=f'(x)f(x)$ y si suponemos que f(x) es de la forma $c_1 r_1^x+c_2 r_2^x+...+c_n r_n^x$ podríamos tomar la derivada y tal vez hacer algo útil? No estoy seguro de lo que debe tratar.
Respuesta
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Nunca se ha comprobado que hay una infinidad de números primos de la forma $(t^2+1)/2$, y no por falta de intentarlo, por lo que demuestra que su secuencia contiene una infinidad de números primos es desesperado. Podría ser posible encontrar algunos $a_0\ge3$, de modo que su secuencia seguramente no contienen una infinidad de números primos. Por ejemplo,$a_0=3$, obtendrá $a_n$ un múltiplo de $5$ para todos los impares $n$. Si usted puede encontrar algunos otros primos que manejan otras secuencias de los subíndices, tal vez usted podría encontrar lo suficiente para cubrir todo lo suficientemente grande $n$. Y si no fuera por $a_0=3$, quizás para algunos otros $a_0$. No puede lastimar a hacer un par de cálculos para ver qué resulta.
