Dominio de ${(x,y) | y = \sqrt{x^2 - 4}}$

Question

Tengo un pequeño problema acerca de cómo escribí mi respuesta para esa pregunta.

Sé que tengo que utilizar el análisis:

$x^2 - 4 \geq 0$

$x^2 \geq 4$

$\sqrt{x^2} \geq \sqrt{4}$

$x \geq 2$

Por eso, $[2, \infty)$

Y sé que cualquier valor negativo de $x^2$ se convirtió en positivo. Y que la respuesta será ($-\infty$, -2]. Y el resultado va a ser $(-\infty, -2]\cup[2, \infty)$.

Pero, ¿cómo puedo expresar que la segunda parte de la $-x$ algebrically (esa palabra existe? Lo sentimos)? Sólo sé que ya es obvio, es lógica.

Pero debo expresar que en el álgebra como la positiva $x$ parte del dominio.

Thanka chicos, saludos!

Editar:

Realmente gracias por todas las respuestas. Voy a tratar de cada pista.

En el momento que mi respuesta era:

Si $x^2 \geq a^2$ $\|x\| \geq a$

Entonces:

$x^2 -4 \geq 0$

$x^2 \geq 4$

$x^2 \geq 2^2$

$\|x\| \geq 2$

i) $x \geq 2 \implies [2, \inf[$

ii) $-x \geq 2$

$x \leq -2 \implies ]\inf, -2]$

La respuesta Final $(-\infty, -2]\cup[2, \infty)$.

Eso es todo, creo.

Ps: Escritura de Látex con el móvil es un dolor. :'/ Lo siento por los errores. No puedo votar porque no tengo suficientes puntos. Lo siento. Pero yo no aprecio todas las respuestas. Gracias!

Answer 1

Si $x^2\ge a$$|x|\ge \sqrt{a}$. No $x\ge \sqrt{a}$.

Del mismo modo, si $x^2=a$, $|x|=\sqrt{a}$. No $x=\sqrt{a}$.

Answer 2

Una forma ligeramente diferente de acercarse a este sería el factor de $x^2-4=(x+2)(x-2)$, y usando el hecho de que el signo de un producto puede ser determinada por el signo de los factores, $$+\cdot +=+,\qquad +\cdot -=-,\qquad -\cdot -=+$$ .

Por lo tanto, estamos tratando de resolver cuando se $(x+2)(x-2)>0$. Bueno, realmente, $\geq 0$, pero teniendo cero complica la discusión de los signos. Así que queremos saber donde ambos factores son positivos o donde ambos factores son negativos. Los lugares donde son positivos se $(-2,\infty)$$(2,\infty)$, y la intersección de estos dos intervalos, el lugar donde ambos son positivos, es $(2,\infty)$. Asimismo, son negativos en $(-\infty,-2)$$(-\infty,2)$, y la intersección, el lugar donde ambos son negativos, es $(-\infty,-2)$.

La combinación de estos dos intervalos, el producto es positivo en tanto $(-\infty,-2)$$(2,\infty)$, y por lo que es positivo en su unión, $(-\infty,-2)\cup (2,\infty)$. Lanzando en los puntos donde el producto es cero, nuestro dominio es $(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$. Esperemos que esto se siente un poco más sistemática.

Answer 3

$x^2 - 4 ≥ 0$. Por lo que esto implica $(x+2)(x-2) ≥ 0$ . Por lo tanto, x pertenece a (−∞, -2] ∪ [2, ∞).