Vamos a manejar el caso más simple de tratar de proporcionar la mayoría de los
la intuición. Deje $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ser un iid muestra de una forma discreta
distribución en $k$ de los resultados. Deje $\pi_1,\ldots,\pi_k$ ser el
las probabilidades de cada resultado en particular. Estamos interesados en la
(asintótica) de la distribución de la chi-cuadrado de estadística
$$
X^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(S_i - n \pi_i)^2}{n\pi_i} \> .
$$
Aquí $n \pi_i$ que se espera que el número de cuenta de la $i$th resultado.
Una sugerente heurística
Definir $U_i = (S_i - n\pi_i) / \sqrt{n \pi_i}$, por lo que $X^2 = \sum_i
U_i^2 = \newcommand{\U}{\mathbf{U}}\|\U\|^2_2$ where $\U =
(U_1,\ldots,U_k)$.
Desde $S_i$$\mathrm{Bin}(n,\pi_i)$, luego por el Teorema Central del Límite,
$$
\newcommand{\convd}{\xrightarrow{d}}\newcommand{\N}{\mathcal{N}}
T_i = \frac{U_i}{\sqrt{1-\pi_i}} = \frac{S_i - n \pi_i}{\sqrt{ n\pi_i(1-\pi_i)}} \convd \N(0, 1) \>,
$$
por lo tanto, también tenemos que, $U_i \convd \N(0, 1-\pi_i)$.
Ahora, si el $T_i$ fueron (asintóticamente) independiente (que no son), entonces se podría argumentar que
$\sum_i T_i^2$ fue asintóticamente $\chi_k^2$ distribuido. Pero, tenga en cuenta que $T_k$ es una función determinista de $(T_1,\ldots,T_{k-1})$ $T_i$ variables no puede ser independiente.
Por lo tanto, debemos de tomar en cuenta la covarianza entre ellos de alguna manera. Resulta que la manera "correcta" de hacer esto es utilizar el $U_i$ en su lugar, y la covarianza entre los componentes de $\U$ también cambios en la distribución asintótica de lo que podría haber pensado en $\chi_{k}^2$ a lo que es, de hecho, una $\chi_{k-1}^2$.
Algunos detalles sobre esto siga.
Un más riguroso tratamiento
No es difícil comprobar que, de hecho,
$\newcommand{\Cov}{\mathrm{Cov}}\Cov(U_i, U_j) = - \sqrt{\pi_i
\pi_j}$ for $i \neq j$.
Así, la covarianza de $\U$ es
$$
\newcommand{\sqpi}{\sqrt{\boldsymbol{\pi}}}
\newcommand{\A}{\mathbf{A}}
\ = \Mathbf{I} - \sqpi \sqpi^T \>,
$$
donde $\sqpi = (\sqrt{\pi_1}, \ldots, \sqrt{\pi_k})$. Tenga en cuenta que
$\A$ es simétrica e idempotente, es decir, $\A = \A^2 =
\A^T$. So, in particular, if $\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}\Z =
(Z_1, \ldots, Z_k)$ has iid standard normal components, then $\A
\Z \sim \N(0, \A)$. (NB multivariante de la distribución normal en este caso es degenerado.)
Ahora, por el Multivariante Teorema del Límite Central, el vector $\U$ ha
un asintótica multivariante distribución normal con media de $0$ y
la covarianza $\A$.
Por eso, $\U$ tiene la misma distribución asintótica como $\A \Z$, por lo tanto, la misma distribución asintótica de
$X^2 = \U^T \U$ es la misma que la distribución de $\Z^T \A^T
\A \Z = \Z^T \A \Z$ por la asignación continua teorema.
Pero, $\A$ es simétrica e idempotente, entonces (una) ha ortogonal
los vectores propios, (b) todos sus autovalores son 0 o 1, y (c)
la multiplicidad del autovalor de 1 es $\mathrm{rank}(\A)$. Esto significa que $\A$ puede ser descompuesto como $\A = \mathbf{Q D Q}^T$ donde $\mathbf{Q}$ es ortogonal y $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal con $\mathrm{rank}(\A)$ unos en la diagonal y el resto de las entradas de la diagonal son cero.
Por lo tanto, $\Z^T \A \Z$ debe $\chi^2_{k-1}$ distribuidas desde la
$\A$ rango $k-1$ en nuestro caso.
Otras conexiones
El estadístico de chi-cuadrado también está estrechamente relacionado con el cociente de probabilidad
estadísticas. De hecho, es un Rao puntuación de estadística y puede ser visto como un
Taylor-series de aproximación del cociente de probabilidad estadística.
Referencias
Este es mi propio desarrollo basado en la experiencia, pero obviamente influenciado por los textos clásicos. Buenos lugares para buscar a aprender más, están
- G. A. F. Seber y A. J. Lee (2003), el Análisis de Regresión Lineal, 2ª ed., Wiley.
- E. Lehmann y J. Romano (2005), la Prueba Estadística de Hipótesis, 3ª ed., Springer. Sección 14.3 en particular.
- D. R. Cox y D. V. Hinkley (1979), Teórico de Estadísticas, Chapman and Hall.
