En el trapecio isósceles $ABCD$ , $AB$ es la base superior y $DC$ es la base inferior. Ahora inscribe dos círculos con centros $X$ y $Y$ en triángulos $ABC$ y $BCD$ respectivamente. Demostrar que la línea $XY$ es perpendicular a $DC$ .
Respuestas
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Dejemos que $AB=x$ , $BC=AD=y$ , $CD=z$ , $BD=AC=w$ . Sea $X'$ sea la proyección de $X$ en $AB$ es decir, el punto en el que el círculo de $ABC$ toca $AB$ . Del mismo modo, dejemos que $Y'$ sea la proyección de $Y$ en $CD$ . Sea $B'$ sea la proyección de $B$ en $CD$ . Para demostrar que $XY\perp CD$ Todo lo que tenemos que probar es $BX'=B'Y'$ . Pero, $BX'=\frac{x+y-w}{2}=\frac{z+y-w}{2}-\frac{z-x}{2}=CY'-CB'=B'Y'$ . $\ \ \blacksquare$
Nota: Si los lados de un triángulo son $a$ , $b$ y $c$ y $s=\frac{a+b+c}{2}$ , longitud de la tangente de $A$ al círculo de $ABC$ es $s-a=\frac{b+c-a}{2}$ .
meiguoren
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Dejemos que $|AB|=a$ , $|BC|=|AD|=b$ , $|CD|=c$ , $|AC|=|BD|=d$ , $|AG|=\tfrac a2$ , $|DH|=\tfrac c2$ .
\begin{align} \triangle ABC:\quad |AE|&=\tfrac12(a+d-b) ,\\ |EG|&=|AE|-\tfrac a2=\tfrac12(d-b) ,\\ \triangle BCD:\quad |DF|&=\tfrac12(c+d-b) ,\\ |FH|&=|DF|-\tfrac c2=\tfrac12(d-b) ,\\ |EG|&=|FH| . \end{align}
