Alex, Bret, y Chloe repetidamente turnan lanzando una feria de morir. Alex empieza; Bret siempre sigue a Alex; Chloe siempre sigue Bret; Alex siempre sigue a Chloe, y así sucesivamente. Encontrar la probabilidad de que Chloe va a ser el primero en lanzar un seis.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
Puntos
89
Un método natural que consiste en la suma de la serie. Nos fijamos en el problema de otra manera.
Deje $p$ ser la necesaria probabilidad. El evento "C es el primero en obtener un $6$" puede suceder de dos maneras:
(i) En la primera $3$ lanzamientos, los resultados no son $6$, no $6$, $6$. La probabilidad de esto es $\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6}$.
(ii) En la primera $3$ lanzamientos, los resultados no son $6$, no $6$, no $6$, pero la C en última instancia, es el primero en obtener un $6$. La probabilidad de esto es $\left(\frac{5}{6}\right)^3p$.
De ello se sigue que $$p=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^3p.$$ Esta es una ecuación lineal en la $p$. resolver.
mjqxxxx
Puntos
22955
En el tercer jugador en línea gana si el primer jugador no puede tirar un seis ($5/6$) y, a continuación, el segundo jugador en la línea de la gana. Por lo $p_3 = \frac{5}{6}p_2$. Del mismo modo, $p_2 = \frac{5}{6}p_1$. Finalmente, el primer jugador en línea gana si sale un seis de inmediato ($1/6$) o en el caso de no tirar un seis ($5/6$) y, a continuación, en el tercer jugador en la línea de los premios: $$ p_3 = \frac{5}{6}p_2 = \frac{5}{6}\left(\frac{5}{6}p_1\right)=\frac{5}{6}\left(\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6}+\frac{5}{6}p_3\right)\right)=\frac{25}{216}+\frac{125}{216}p_3. $$ La solución de este da $$ p_3=\frac{25}{216-125}=\frac{25}{91}; $$ entonces $$ p_1=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{25}{91}=\frac{91+125}{6\cdot 91}=\frac{36}{91} $$ y $$ p_2=\frac{5}{6}\cdot\frac{36}{91}=\frac{30}{91}. $$ Estas satisfacer $p_1+p_2+p_3=1$, como se debe.
Leon Katsnelson
Puntos
274
Deje $S$ ser el caso de que un seis es lanzado, y $\bar{S}$ el caso de que un seis no es lanzada.
A continuación, los patrones con los que Chloe gana se $(\bar{S} \bar{S} \bar{S}) ^k\bar{S}\bar{S} S $, por lo tanto la probabilidad de que ella gana es dada por $\sum_{k=0}^\infty ({ 5 \over 6})^{3k+2} {1 \over 6} = { 5^2\over 6^3} { 1\over 1-({5 \over 6})^3}$.
