Es $\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{72}$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{18} \oplus \mathbb{Z}_{48}$?

Question

Es $\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{72}$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{18} \oplus \mathbb{Z}_{48}$?

Prueba: $\mathbb{Z}_{18} \oplus \mathbb{Z}_{48}$ tiene un elemento de orden $lcm(18, 48) = 144$, sin embargo, el más alto orden de un elemento de $\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{72}$ es igual a $lcm(12, 72) = 72$.

Es esto suficiente para concluir que no existe isomorfismo entre estos dos grupos?

Answer 1

Es suficiente si usted es explícito al respecto:

El orden de $(1,1) \in \mathbb{Z}_{18} \oplus \mathbb{Z}_{48}$ $144$ pero cada elemento de a $\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{72}$ ha pedido en la mayoría de los $72$.