El uso de Cauchy de la integral fórmula para calcular el $\int_\gamma \frac{\cos{z}}{z^n}$

Question

Deje $\gamma(\vartheta)=\mathrm{e}^{i\vartheta},\,\vartheta\in[0,2\pi]$, y considerar la integral $$I(n)=\int_\gamma \frac{\cos{z}}{z^n},$$ where $n\in \{0,2,4,6,...\}$.

Hay alguna forma de probar que $I(n)=0$ todos los $n$, sólo por la fórmula integral de Cauchy para $\cos{z}$ y el devanado de número de $\gamma$, es decir, sólo mirando las expresiones de $$\int_\gamma \frac{\cos{z}}{z},\ \int_\gamma\frac{1}{z}$$

Observación: mediante la expansión de $\cos{z}$ en la serie, sé cómo calcular el $I(n)$. Mi pregunta es si es posible evitar de esta manera.

Answer 1

Según el Cauchy de la Integral Fórmula para $f(z)=\cos z$: $$ \cos^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\cos z\,dz}{z^{n+1}}=\frac{n!}{2\pi i} I(n+1) $$ Pero $$ \cos^{(2k)}(0)=(-1)^{k}\cos 0\quad\text{mientras}\quad \cos^{(2k-1)}=(-1)^{k}\sin (0). $$ Así $$I(2n)=(-1)^n\sin(0)\frac{2\pi i}{(2n-1)!}=0,$$ while $$I(2n+1)=(-1)^n\cos (0)\frac{2\pi i}{n!}=(-1)^n\frac{2\pi i}{(2n)!}.$$