Aquí es un problema que surgió en una conversación con un profesor. No sé si él sabía la respuesta (y me dijeron nada de eso) y desde entonces ha pasado así que no puedo preguntarle acerca de ella.
Deje $C$ ser un entramado de cubo en $\mathbb{R}^n$. Caracterizar todos los posibles volúmenes de $C$. Un cubo se llama un entramado de cubo si y sólo si cada vértice tiene coordenadas enteras.
Se me rompió esta prueba en tres de los casos, el último de los cuales estoy teniendo problemas con en una dirección. Vamos a dejar que $V(n)$ ser el conjunto de todos los números de $V$ para el cual existe un entramado de cubo de volumen $V$ en la dimensión $n$. Vamos a romper en tres de los casos se basa en el valor de la mod 4.
\begin{align*} V(2k+1)&=\{a^n:a\in\mathbb{N}\} \\ V(4k)&=\{a^\frac{n}{2}:a\in\mathbb{N}\} \\ V(4k+2)&\supseteq\{(a^2+b^2)^\frac{n}{2}:a,b\in\mathbb{N}\} \end{align*}
Estas declaraciones que he probado, y la conjetura de que la última es una igualdad. He estado tratando de utilizar un colapso dimensión argumento para demostrar que si puedo hacer un cubo de lado de longitud $s$ $\mathbb{R}^{4k+2}$ entonces puedo en $\mathbb{R}^{4k-2}$, momento en el que el teorema se sigue desde que he probado el caso especial de $n=2$ (que es bastante trivial - no hay forma de escribir un cuadrado cuyo volumen no es de la forma especificada en $2$D.
Las anteriores afirmaciones (sans mi conjetura) han demostrado aquí
