Me cuesta imaginar un ejemplo más sencillo de el hecho de que mi comprensión del tema es más que oxidado.
Voy a dividir la pregunta en dos partes para hacer la lectura más fácil:
1) Antecedentes;
2) Problema.
En la primera parte, voy a mostrar cómo me suelen acercarse la prueba de que una secuencia converge a un cierto límite, con un ejemplo, con la esperanza de conseguir si lo que estoy haciendo es correcto o incorrecto. En la segunda parte voy a mostrar mi "prueba" de una declaración incorrecta, con la esperanza de ver lo que está mal hay seguro.
1) ANTECEDENTES
Vamos a suponer que la definición del límite de una secuencia (sólo para ponerse de acuerdo sobre la notación - con $M$ escrito como $M(\epsilon)$ para enfatizar que no se puede depender de $\epsilon$)
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \mathcal{l} \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0, \exists M(\epsilon) \in \mathbb{N}: \forall m \in \mathbb{N}( m > M(\epsilon) \longrightarrow | a_m - \mathcal{l}|< \epsilon).$$
Lo que he aprendido es que debo proceder en dos pasos, suponiendo que el lado izquierdo de la definición anterior con el fin de establecer la RHS:
i) el "borrador de trabajo" (un.k.una. adivinanzas-el-valor-de-$M$), que no aparece en la prueba,
ii) y la prueba real.
Ejemplo
Demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Cero trabajo:
Con el fin de encontrar $M$, la primera cosa que debemos notar es que
$$ \left| \frac{1}{n}-0 \right| < \epsilon \Longrightarrow \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \Longrightarrow \frac{1}{n} < \epsilon \Longrightarrow \frac{1}{\epsilon} < n.$$
A partir de esto, vamos a establecer en la prueba de que $M= \frac{1}{\epsilon} $.
Prueba:
Deje $\epsilon >0$ ser cualquier número real.
Deje $M= \frac{1}{\epsilon} $, de la cual tenemos que $\epsilon = \frac{1}{M}$.
Deje $m$ ser cualquier número natural, y asumir que $m > M$. Por lo tanto, $\frac{1}{m} < \frac{1}{M}$. Por lo tanto,
$$ \left| \frac{1}{m} - 0 \right| = \left| \frac{1}{m} \right| = \frac{1}{m} < \frac{1}{M} = \epsilon.$$
$\square$
2) PROBLEMA
Para el estado es, precisamente, tengo la sensación de que entre cero trabajo y de la prueba, puedo demostrar lo que yo quiera, en particular las declaraciones falsas.
Ejemplo
Demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 1$.
Cero trabajo:
Con el fin de encontrar $M$, la primera cosa que debemos notar es que
$$ \left| \frac{1}{n}-1 \right| = \left| \frac{1-n}{n} \right| = \frac{1-n}{n} < \epsilon \Longrightarrow n > \frac{1}{1 + \epsilon}.$$
A partir de esto, vamos a establecer en la prueba de que $M= \frac{1}{\epsilon + 1} $.
Prueba:
Deje $\epsilon >0$ ser cualquier número real.
Deje $M= \frac{1}{\epsilon + 1} $, de la cual tenemos que $\epsilon = \frac{1-M}{M}$.
Deje $m$ ser cualquier número natural, y asumir que $m > M$$m > \frac{1}{\epsilon + 1}$$\frac{1}{m} < \frac{1}{M}$.
Por lo tanto, de $m > \frac{1}{\epsilon + 1}$ tenemos que $\frac{1 - m}{m} < \epsilon$, que, después de algunas manipulaciones algebraicas nos da
$$ \left| \frac{1}{m} - 1 \right| < \epsilon.$$ $\square$
Algunos pensamientos
No hay (o hay) un error evidente de que simplemente no puedo ver. Reformular el problema de mi, siento que después de que yo obtenga el valor de $M$ fuera de los arañazos de trabajo, no importa si se trata de un plazo razonable o no, se trata básicamente de hacer. Supongo que $m > M$ y, debido al hecho de que esto implica que $m$ tiene que ser mayor que una cierta expresión con $\epsilon$, siempre vuelvo a la fórmula original, vacously (y erróneamente) "probar" el resultado.
Obviamente es un problema de un círculo vicioso, pero no veo donde puedo empezar a cometer errores.
Muchas gracias por todos los comentarios, que será más que bienvenida.
