$(3^x-2^x)^2+3^x-2^x\leq 5^x$

Question

Resuelve la siguiente desigualdad

$$(3^x-2^x)^2+3^x-2^x\leq 5^x$$

Tengo dificultades para resolver esta desigualdad porque hay varias exponenciales con bases diferentes. Pensé, sin embargo, la sustitución:

$$y=3^x-2^x$$

y así:

$$y^2+y\leq 5^x$$

tratamiento de $5^x$ como el término conocido de la desigualdad de segundo grado en y.

¿Qué opina? Muchas gracias

Answer 1

Su planteamiento se desarrollará del siguiente modo:

$$\boxed{y^2+y\le5^x}\iff y^2+y-5^x\le0\iff y\in\Big[y_{_1},y_{_2}\Big],\qquad y_{_{1,2}}=\frac{-1\pm\sqrt{5^x+1}}2$$

$$-\sqrt{5^x+1}\le2y+1\le\sqrt{5^x+1}\iff|2y+1|\le|\sqrt{5^x+1}|\iff(2y+1)^2\le5^x+1$$

$$4y^2+4y\le5^x\iff\boxed{y^2+y\le\dfrac{5^x}{4\ \ }}\iff y\in\Big[y'_{_1},y'_{_2}\Big],\qquad y'_{_{1,2}}=\frac{-1\pm\sqrt{\dfrac{5^x}{4\ \ }+1}}2$$

$$4y^2+4y\le\dfrac{5^x}{4\ \ }\iff\boxed{y^2+y\le\dfrac{5^x}{4^2}}\iff y\in\Big[y^"_{_1},y^"_{_2}\Big],\qquad y^"_{_{1,2}}=\frac{-1\pm\sqrt{\frac{5^x}{4^2}+1}}2$$

Siguiendo por este camino, deducimos que $y\in\Big[Y_{_1},Y_{_2}\Big]$ donde $Y_{_{1,2}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{-1\pm\sqrt{\frac{5^x}{4^n}+1}}2=\pm1.$

Así que $-1\le3^x-2^x\le1\iff2^x-1\le3^x\le2^x+1$ . Desde $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}a^t=0\iff x\in(-\infty,x_{_0})$ para un valor determinado numéricamente de $x_{_0}$ .

Answer 2

Por inspección, para $x=0$ así como para $x=1$ la desigualdad se cumple, pero no para $x=2$ . Entonces, lo que parece es que esta desigualdad se satisface para cualquier valor de $x$ que es inferior a la solución de $$(3^x-2^x)^2+3^x-2^x= 5^x$$ El problema es que esta solución no puede obtenerse analíticamente.

Para obtener la solución de esta ecuación, se puede utilizar el método de Newton a partir de $x=2$ los iterados sucesivos son : $2.00000$ , $1.86852$ , $1.82445$ , $1.82013$ , $1.82009$ .

Avísame si necesitas que te explique con más detalle el método iterativo de Newton para resolver ecuaciones.