Encuentra la fórmula de:$\cos (\theta x) = ?$

Question

Estaba pensando en cómo$\cos (a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ y ese$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - sin^2(\theta)$. ¿Hay un patrón para$\cos(\theta),\cos(2\theta),\cos(3\theta),\cos(4\theta) ...$? Entonces, básicamente, ¿qué hace$\cos(\theta x)= ?$ (como el teorema binomial que estaba pensando)

Gracias

Answer 1

Si $x$ es estrictamente considerado un número natural, entonces no es el uso de los números imaginarios en su derivación.

La fórmula de Euler establece que $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$. Ahora, considere la posibilidad de $\alpha = \theta n$ para algún número natural n.

La función de $\Re(z)$ se define como la parte real de un número imaginario $z$, y por lo $\Re(a+ib) = a$.

A continuación,$\cos(\alpha) = \Re(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) = \Re(e^{i\alpha}) = \Re((e^{i\theta})^n) = \Re([cos(\theta) + i\sin(\theta)]^n)$. Ahora, podemos usar el teorema del binomio para expandir $[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]^n$, y luego aislar a las condiciones reales. Recuerde, $i^2 = -1$.

Para hacer las cosas más fácil, vamos a $u = \cos(\theta)$$\omega = \sin(\theta)$.

$(u+i\omega)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{n-k}(i\omega)^{k}$

$(u+i\omega)^n = u^n + nu^{n-1}(i\omega) - \binom{n}{2}u^{n-2}\omega^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}u(i\omega)^{n-1} + (i\omega)^n$

Luego, el aislamiento de los términos reales, y la sustitución de los senos y cosenos de nuevo, obtenemos:

$$cos(\theta n) = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\binom{n}{2k} \cos^{n-2k}(\theta) \sin^{2k}(\theta)(-1)^k$$

Donde $\lfloor x\rfloor$ es la función del suelo de $x$, e $\binom{p}{r}$ es el coeficiente binomial $pCr$.

Answer 2

Preguntas sobre cos (n \ Theta), así que puedo enviarte a las fórmulas de DeMoivre, puedes estudiar el tema comenzando por https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula

Answer 3

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La adición de fórmulas son suficientes para derivar las expresiones de $\cos(n\theta),\sin(n\theta)$ para cualquier natural $n$.

Este es compacta logra mediante el uso de una escritura compleja $\text{cis}(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$, y se puede escribir la relación de recurrencia

$$\begin{align}\text{cis}(n\theta+\theta)&=\cos(n\theta+\theta)+i\sin(n\theta+\theta)\\ &=(\cos(n\theta)\cos(\theta)-\sin(n\theta)\sin(\theta))+i(\sin(n\theta)\cos(\theta)+\cos(n\theta)\sin(\theta))\\ &=\text{cis}(n\theta)\text{cis}(\theta).\end{align}$$

Con $\text{cis}(0\theta)=1$, esto simplemente da

$$\text{cis}(n\theta)=\text{cis}^n(\theta).$$

Ahora puede expandir la RHS utilizando la fórmula Binominal, y dividir en partes real e imaginaria.

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Por ejemplo,

$$\begin{align}\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) &=\cos^3(\theta)+i3\cos^2(\theta)\sin(\theta)+i^23\cos(\theta)\sin^2(\theta))+i^3\sin^3(\theta)\\ &=(\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\sin^2(\theta))+i(3\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin^3(\theta)).\end{align}$$

Para el coseno, agregar términos a partir de $\cos^n$, con alternancia de signos y cada una de las otras coeficiente Binomial, la negociación de un $\cos^2$ $\sin^2$ cada vez. Para el seno, empezar de $n\cos^{n-1}\sin$ y proceder de manera similar.

Esto también demuestra que se puede obtener también "coseno-only" y "sine-sólo" fórmulas las fórmulas cuando la paridad permite, llevando a que los polinomios de Chebyshev.