En la definición de un filtro: ¿No es$\emptyset$ un subconjunto de cualquier conjunto?

Question

Al comenzar mi estudio de análisis no estándar, he encontrado esta definición de un filtro U en un conjunto J, donde A, B son subconjuntos de J:

1. Filtro adecuado:$\emptyset \not\in U$,
2. Propiedad de intersección finita: Si$A, B\in U$, entonces$A\cap B\in U$,
3. Propiedad de superconjunto: Si$A\in U$ y$A\subseteq B$, entonces$B\in U$.

Me parece que (3) contradice (1), ya que cualquier conjunto en el filtro tiene ∅ como un subconjunto. ¿Es esto falso? Si es así, ¿podría alguien explicar por favor cómo ∅ no es un subconjunto de cualquier conjunto?

Answer 1

El conjunto vacío es un subconjunto de todos los demás conjuntos. El elemento (3) no contradice (1), ya que lo que dice es que un filtro está cerrado en superconjuntos y no en subconjuntos .

Answer 2

Cuando$\emptyset$ estaba en el filtro, cada subconjunto del espacio base también está en el filtro por la propiedad superconjunto.