Probabilidad condicional del proceso de Poisson y variables aleatorias dependientes.

Question

Esto es para hacer la tarea, pero estoy atascado porque no puedo encontrar algo como esto en mi libro, o en el internet para que la materia.

Decir que tengo un restaurante que está abierto las 24 horas, y sabemos que los clientes entrar en el establecimiento, según un proceso de Poisson a una tasa de 5 clientes/hora.

1. Dado que los 6 clientes llegaron a partir de la 1:00 am y las 2:30 de la mañana, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 3 llegan los clientes a partir de las 2:30 am a 4:00 am?

He modelado esta pregunta como esta: P(C<3|X=6), siendo C la cantidad de clientes a los que puede llegar y X los clientes que ya han llegado. así que el uso de la definición de probabilidad condicional: $$\frac{P(C<3\bigcap X=6)}{P(X=6)}$$

Terminé usando esta propiedad que parece sospechoso: $$P(A\bigcap B)=P(A) P(B)$$

Hacer las matemáticas y termino con $$\frac{0.1367 \cdot 0.059}{0.1367}=0.059$$ lo que parece razonable, pero no creo que es correcto. Con la ayuda de aquí si no es aceptar.

2. Si sabemos que el 30 clientes llegaron desde las 10:00 pm a 4:00 de la mañana, ¿cuál es la probabilidad de que 20 de los clientes llegaron a partir de la 1:30 am a 3:15 de la mañana?

Esta pregunta me tiene perplejo. Creo que debo romper las veces en algo como: $$[10:00, 1:30)\bigcup [1:30, 3:15]\bigcup (3:15, 4:00]$$

Y, a continuación, haga las probabilidades separadas, y sumarlos al final, pero esto no parece correcto, y no sé qué hacer...

Por favor ayuda

Answer 1

El libro de texto de Poisson en procesos de usted use sin duda, se menciona que el número de puntos que caen en algunos discontinuo del tiempo sets son independientes. Re 1., esto nos dice que la probabilidad condicional de que es el mismo que el (incondicional) probabilidad de que menos de 3 llegan los clientes a partir de las 2:30 de la mañana a 4:00 de la mañana. Esta es la probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson con parámetro 5 por hora $\times$ 1,5 horas $=$ 7.5, es menor que 3.

Re 2., el mismo libro de texto que seguramente explica que una vez que sabes $n$ puntos de caída en un intervalo [a,b], sus ubicaciones en [a,b] se $n$ i.yo.d. variables aleatorias distribuidas de acuerdo a la densidad del proceso de Poisson. Aquí el proceso de Poisson es homogénea por lo tanto el número de clientes que llegaron desde la 1:30 de la mañana a 3:15am es binomial $(n,p)$ donde $n=30$ $p$ indica el porcentaje del tiempo total de la duración de los intereses que representa, que es $p=\frac{1.75}6=\frac7{24}$.

Answer 2

No hay nada de sombra sobre la propiedad que se utiliza en la parte a). En un proceso de Poisson, los eventos que ocurren en un marco de tiempo son independientes de los eventos ocurridos en el otro, distinto, marco de tiempo.

Tenga en cuenta que en su respuesta a una), las probabilidades de $P[X=6]$ cancelar, como se debe, dejando $P[C<3\mid X=6]=P[C<3]$. No hay sorpresa aquí, ya que esto es una consecuencia directa de la independencia de la propiedad. (Yo no comprobar que calcula $P[C<3]$ correctamente).

Aunque Didier Piau el enfoque de la parte b) es un método mejor para solucionar el problema; Creo que vale la pena para calcular la probabilidad directamente. De hecho, este cálculo puede ayudar a ver por qué la propiedad mencionada por Didier es cierto.

Por lo que ofrecen:

Deje $\lambda=5$ y dejar:

$\ \ \ A$ el número de eventos que ocurren en las 4.25 horas período de tiempo de 10 a 1:30 y 3:15-4.

$\ \ \ B$ el número de eventos que ocurren en el 1,75 horas período de tiempo de 1:30-3:15

y

$\ \ \ C$ el número de eventos que ocurren en las 6 horas de período de tiempo de 10-4.

Nota: $A$ tiene distribución de Poisson con parámetro $4.25\lambda$, $B$ tiene distribución de Poisson con parámetro de $1.75\lambda$, e $C$ tiene distribución de Poisson con parámetro de $6\lambda$.

En su problema, usted desea encontrar $P[\,B=20\mid C=30\,]$.
Tenemos: $$\eqalign{ P[\,B=20\mid C=30\,]&={P\bigl[\,(B=20 )\cap (C=30)\,\bigr]\sobre P[C=30] } \cr Y={P[ (A=10)\cap B=20)]\sobre P[C=30] } \cr Y={P[ a=10]P[B=20]\sobre P[C=30] } \cr y={{\estilo de texto(4.25\lambda)^{10} e^{-4.25\lambda}\over\estilo de texto 10!} \cdot {\estilo de texto(1.75\lambda)^{20} e^{-1.75\lambda}\over \textstyle20!} \over{\estilo de texto(6\lambda)^{30} e^{-6\lambda}\over\estilo de texto 30!} } \cr &={{(4.25 )^{10} \lambda^{10} \más de 10!} \cdot {(1.75 )^{20}\lambda^{20} e^{-6\lambda}\más de 20!} \cdot {30!\más 6 ^{10}6^{20}\lambda^{30} e^{-6\lambda} } } \cr &=\Bigl({4.25\más de 6}\Bigr)^{10} \Bigl({1.75\más de 6}\Bigr)^{20} {30!\más de 10! 20!}. } $$