Promedio de$lcm(a,b)$,$ 1\le a \le b \le n$ y comportamiento asintótico

Question

¿Cuál es el valor promedio para$\mathrm{lcm}(a,b)$, con$ 1\le a \le b \le n$, para un determinado$n$, y cuál es el comportamiento asintótico? El$\mathrm{lcm}$ es el mínimo común múltiplo.

He calculado, como$(n, avg)$:

$$(10, 19.836)$ $$$(100, 1826.859)$ $$$(1000, 182828.976)$ $

Los valores parecen converger cuadráticamente a alguna constante.

Esto generaliza a$$\sum_{1 \le j \le k \le n} \mathrm{lcm}(j,k)$ $

Answer 1

Aquí está una vuelta-de-la-envoltura de cálculo. Comience con el valor promedio de $ab$,$(n+1)^2/4$.
Considere la posibilidad de los poderes de $2$ solamente. Tres cuartas partes de la $(a,b)$ pares de falta $2$ como factor común. 3/16 ha $2^1$ como factor común, $3/64$ ha $4$ como factor común y así sucesivamente. Así, en promedio, tratar con los poderes de $2$ reduce el promedio por un factor $$\frac341+\frac3{16}\frac12+\frac3{64}\frac14+...\\ =\frac34\left[1+\frac18+\frac1{64}+...\right]\\=\frac{3/4}{7/8}=6/7$$
Considere la posibilidad de los poderes de $3$, la cual será independiente de los poderes de $2$. La reducción es $$\frac891+\frac8{81}\frac13+\frac8{729}\frac19+...=\frac{8/9}{26/27}=\frac{12}{13}$$ Para cualquier prime $p$, el factor de es $\frac{p^3-p}{p^3-1}$, por lo que mi respuesta final es $$\frac{(n+1)^2}4\prod_{p\,\text{prime}}\frac{p^3-p}{p^3-1}=\frac{(n+1)^2}4\frac{\zeta(3)}{\zeta(2)}$$
Que es la de Riemann $\zeta$ función, y la relación constante es $$\frac{\zeta(3)}{4\zeta(2)}=0.18269074235...$$

Answer 2

Teorema 6.3 de Olivier Bordelles, Valores medios de las funciones generalizadas de gcd-sum y lcm-sum, Journal of Integer Sequences, vol. 10 (2007), el Artículo 07.9.2, dice, para cualquier número real$x$ suficientemente grande,$$\sum_{n\le x}\sum_{j=1}^n[n,j]={\zeta(3)\over8\zeta(2)}x^4+O\bigl(x^3(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{4/3}\bigr)$ $