Derivación más simple de$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Question

Sé que la igualdad de $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ puede ser demostrado de muchas maneras mediante las series de Fourier. Sin embargo, hay una manera de derivar utilizando más herramientas fundamentales? He intentado: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 x^{n-1} dx \int_0^1 y^{n-1} dy = \int_0^1 dx\int_0^1 dy \frac{1}{1-xy}$$ y cambiando variables que yo era capaz de escribir en varias otras formas:$$ = -\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x} dx = \int_0^\infty \frac{\ln (1+t)}{t(1+t)} dt = \int_0^\infty \frac{u }{e^u -1}du $$ pero eso es lo máximo que podía conseguir.

Yo concretamente no desea utilizar la serie de Fourier. Más fundamental de análisis complejo, como el contorno de integración, está bien.

Answer 1

Si, esto se puede hacer. En realidad, eso es lo que hizo Tom Apostol en un artículo que publicó en 1983; Puedes leer la prueba aquí (es la primera prueba). Utilizó un cambio de variable ( $(x,y)\mapsto(x+y,x-y)$ ) para calcular la integral $$\iint_{[0,1]\times[0,1]}\frac1{1-xy}\,\mathrm dx\,\mathrm dy.$ $