Resuelve esta ecuación diferencial$\Biggr(\frac{dy}{dx} -1\Bigg)\Bigg(y-x\frac{dy}{dx}\Bigg)=\frac{dy}{dx}$

Question

Resuelve esta ecuación diferencial: $$\Biggr(\frac{dy}{dx} -1\Bigg)\Bigg(y-x\frac{dy}{dx}\Bigg)=\frac{dy}{dx}$ $

¿Cómo resolver esto?

Answer 1

$\Biggr(\frac{dy}{dx} -1\Bigg)\Bigg(y-x\frac{dy}{dx}\Bigg)=\frac{dy}{dx}\implies(p-1)(y-xp)=p$, donde $p\equiv \frac{dy}{dx}$

$\implies y-xp=\frac{p}{p-1}=\implies y=xp+\frac{p}{p-1}$ . . . . $(1)$

que se conoce como la ecuación de Clairaut.

Así que la solución general de la ecuación diferencial $(1)$ es

$y=cx+\frac{c}{c-1}$, donde $c$ es la integración de la constante.

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Si una vez que muestre que la ecuación diferencial de Clairaut del formulario, es decir, de la forma $$y=px+f(p)$$

A continuación, para la solución general de este tipo de educación a distancia, sustituya $p\equiv \frac{dy}{dx}$ por la integración de la constante de $c$. es decir, su solución general es $$y=cx+f(c)$$

Para obtener más detalles acerca de la solución de la ecuación de Clairaut, usted puede seguir la referencia: "http://www.library.gscgandhinagar.in/assets/admin/images/MAT-102(UNIT1,2).pdf"

Answer 2

Tenemos $y(x)=px+\frac{p}{-1+p}$. Donde $p=\frac{dy}{dx}$ Esta es la ecuación de Clairaut . La solución será de la forma $y=cx+f(c)$ .Diferenciar tenemos $dy=pdx+xdp+\frac{dp}{(1-p)^2}$ podemos escribir $dy=pdx$ la ecuación se convierte en $-xdp=\frac{dp}{(1-p)^2}$ asumiendo $dp\neq 0$ tenemos $x=\frac{1}{(1-p)^2}$ poner este valor en la primera ecuación y obtener una expresión para $y(p)$. El $x(p),y(p) $ son llamados singular soluciones.

Answer 3

Como nmasanta ya publicó la respuesta, no edito mi cálculo.

Solo agrego la solución singular $y=x+1\pm 2\sqrt{x}$ y un gráfico de las soluciones completas de la EDO:

Answer 4

Sugerencia: escriba $(y-x)'\left(\dfrac{x}{y}\right)'=\dfrac{y'}{y^2}$ y con sustituciones $u=y-x$ y $\dfrac{x}{y}=v$ luego $$\dfrac{dv}{1-v}=\dfrac{du}{u^2-u}$ $