¿Es la suma de esta serie una función diferenciable?

Question

Vamos $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{nx} \left( 1 - \frac{1}{e^{ \frac{x}{n}}} \right) \wedge x>0$$

Es la suma de esta serie una función derivable?

mi idea

Para el examen de diferenciación: $$ g_n (x) := \frac{1}{nx} \left(1 - \frac{1}{e^{ \frac{x}{n}}} \right) $$ entonces $$ g_n'(x) = -\frac{\left(n e^{x/n}-n-x\right)}{e^{\frac{x}{n}}n^2 x^2} $$ pero $g_n'(x)$ parece ser asintótica similar a $\frac{1}{n}$ así que no puedo usar el teorema de la que me puede ayudar para, finalmente, la prueba de que $f$ es diferenciable. ¿Qué debo hacer en esta situación?

Answer 1

Usted puede hacer algunas simplificaciones en primer lugar. El factor de $\frac 1 x$ no tiene ningún efecto sobre la diferenciabilidad, así que dejar que. La próxima nota de que $1-\frac 1 {e^{x/n}}=1-e^{-x/n}$. Alos recordar que $1-e^{-t} \leq t$ para todos los $t \geq 0$. Ahora es obvio que la serie es uniformemente convergente (por comparación con $\sum \frac 1 {n^{2}})$. Si se le cae $\frac 1 x$ y diferenciar la serie obtendrá $\sum\frac x {n^{2}} e^{-x/n}$. Utilice el hecho de que $e^{-x/n} \leq 1$ a la conclusión de que la diferencian de la serie también converge uniformemente para delimitada $x$. Por lo tanto la suma de la serie original es una función derivable (como he explicado en el post anterior).

Answer 2

$\mathbf{Hint}$: ¿Por qué dice $g_n'(x)$ es asintóticamente similar a $\frac{1}{n}$? Para $n$ grandes $e^{x/n} \approx 1+\frac{x}{n}+\frac{x^2}{2n^2}$, por lo que $$n(e^{x/n}-1)-x \approx \frac{x^2}{2n}$$ Y por lo tanto $g_n'(x) \approx -\frac{e^{-x/n}}{2n^3}$. Observe que la suma de esta última expresión converge uniformemente en $\mathbb{R}$. Uso del teorema de Taylor para hacer esta aproximación precisa y mostrar la suma de $g_n'$ converge uniformemente en cualquier intervalo acotado.