Demuestre que$f(x,y)$ es derivable para todas las direcciones en$(0,0)$ pero no es diferenciable en$(0,0)$

Question

Demostrar que $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}&\text{if $(x,y)\neq(x,0)$},\\f(x,0)=0\end{cases}$$ is derivable for all direction in $(0,0)$ but it is not differentiable at $(0,0)$.

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Tengo 3 preguntas:

1. Creo que la función puede ser traducido a $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}&\text{if $(x,y)\neq(x,0)$},\\\color{red}0&\color{red}{\text{if $(x,y)=(x,0)$}},\end{cases}$$ a la derecha?

Para demostrar que tiene derivada direccional en toda la dirección en $(0,0)$ tenemos que demostrar que el siguiente límite existe: $$\lim_{h\to0}\frac{f(ah,bh)-f(0,0)}{h},$$ where $\compruebe{v}=(a,b)\in\Bbb R^2$ and $a^2+b^2=1$.

De hecho, $$\lim_{h\to0}\frac{f(ah,bh)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{(ah)^2}{bh}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{a^2h^2}{bh^2}=\frac{a^2}{b}=\begin{cases}\frac{a^2}{b}&\text{if $b\neq0$},\\\color{blue}0&\color{blue}{\text{if $b=0$}},\end{cases}$$ por lo tanto el límite existe para todos dirección.

2. El texto en $\color{blue}{\text{blue}}$ es correcto porque sabemos que $b$ va $y$-dirección, y $f(x,y)=0$ si $y=0$?

Para demostrar que $f$ no es diferenciable en a$(0,0)$ podemos estudiar la continuidad de la $f$ a $(0,0)$: $f(0,0)=0$, pero $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{y}\underbrace{=}_{(*)}\underset{y=x^2}{\lim_{x\to0}}\frac{x^2}{x^2}=1,$$ where in $(*)$ we have taken the curve of level $1$ of $f$, thus $f$ is not continuous at $(0,0)$. Hence, it is not differentiable at $(0,0)$.

3. Podemos tomar la curva de nivel de $1$ sólo "imponer" $\frac{x^2}{y}=1$ es decir $y=x^2$o, por el contrario, tenemos que demostrar que para todos los $(x,y)\in E^*(0,0)\cap\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid(x,y)\neq(0,0)\}$es $y=x^2$?

Gracias!

Answer 1

Pregunta 1: Sí, usted puede volver a escribir como este. De hecho, creo firmemente que prefieren esto a la forma en que originalmente escrito; no me gusta cómo $f(x, y)$ aparece en el lado derecho de la $=$ signo. Usted puede reemplazar la condición de $(x, y) = (x,0)$ con $y = 0$ .

Pregunta 2: Sí, eso estaría bien. De nuevo, tengo algunos problemas con la forma en que esto se escribe.

$$\lim_{h\to0}\frac{f(ah,bh)-f(0,0)}{h}\color{red}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{(ah)^2}{bh}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{a^2h^2}{bh^2}=\frac{a^2}{b}\color{red}=\begin{cases}\frac{a^2}{b}&\text{if $b\neq0$},\\0&\text{if $b=0$},\end{cases}$$

No me gusta la $=$ signos resaltado en rojo. No es cierto en general que $f(ah, bh) = \frac{(ah)^2}{bh}$; lo que hace la suposición implícita de que $b \neq 0$. Del mismo modo, el segundo destacó $=$ es un segundo error, diseñado para corregir la anterior, a escondidas de la $b = 0$ caso de nuevo en la ecuación. Usted notará que el $b = 0$ caso no está probado, simplemente afirmó. No es de extrañar que usted necesita para pedir aclaración!

Pregunta 3: sólo puede ver en la curva de $y = x^2$ (o parametrizados, $(x,y) = (t, t^2)$). Es una curva continua, pasando por $(x, y) = (0, 0)$. Si $f$ es continua, entonces esperaríamos $f(t, t^2)$ a ser una función continua de la $t$, y, en particular, $f(t, t^2) \to f(0, 0)$ como $t \to 0$. Como este no es el caso, $f$ no es continua.