Pregunta sobre la demostración de la regla de álgebra simple $\frac{1}{\frac{1}{a}} = a$

Question

Tengo una pregunta sobre una prueba que vi en un libro sobre reglas básicas de algeba. La regla a demostrar es: \begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{a}} = a, \quad a \in \mathbb{R}_{\ne 0} \end{eqnarray*}

Y la prueba:

\begin{eqnarray*} 1 = a \frac{1}{a} \Longrightarrow 1 = \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow a = a \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow \frac{1}{\frac{1}{a}} = a \end{eqnarray*}

¿Por qué se permite simplemente sustituir $a$ con $1/a$ ? ¿Cuál es la explicación?

Answer 1

Sea $x=\frac{1}{a}$ . Entonces:

\begin{eqnarray*} 1 = x \frac{1}{x} \Longrightarrow 1 = \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow a = a \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow \frac{1}{\frac{1}{a}} = a \end{eqnarray*}

¿Mejor? Tienes razón, sustituir $a\to\frac{1}{a}$ es un pequeño abuso de notación, porque están cambiando implícitamente la variable sin decírtelo. Pero puedes arreglarlo dejando que $x=\frac{1}{a}$ al principio.

Answer 2

$1/a$ es la inversa multiplicativa $a^{-1}$ de

$a (\not =0)$ es decir $a^{-1}a=1$ .

Necesidad de mostrar:

$(a^{-1})^{-1} =a;$

Desde

$(a^{-1})^{-1}(a^{-1})=1$ ;

$(a^{-1})^{-1}(a^{-1})a=1a=a$ ;

$(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=a;$

$(a^{-1})^{-1}1=(a^{-1})^{-1}= a$ .

Answer 3

No me gusta mucho esta prueba.

Prefiero seguir definiendo la inversa:

• $y$ es la inversa de $x\iff xy=1$ entonces lo escribimos $y=\frac 1x$ .
• ya que todo es simétrico $x$ es también la inversa de $y=\frac 1x$ .

A partir de ahí, tenemos $\frac 1{\frac 1a}$ es la inversa de $\frac 1a$ que es $a$ .

Answer 4

No creo que estén sustituyendo $a \to \frac1a$ . Creo que la lógica en la primera implicación es que están tomando 1 sobre ambos lados. Así que $1/1\to 1$ en el LHS, y en el RHS, $$a \to \frac1a \text{ and } \frac1a \to \frac{1}{\frac1a}.$$ Del mismo modo, en la siguiente implicación, multiplican ambos lados por $a$ .

Answer 5

Procedo por pasos:

La primera implicación se deduce porque el recíproco de $1$ es $1.$ Así, consiguieron $$1=\frac 1a\frac{1}{\frac 1a}$$ tomando los recíprocos de ambos lados de $$1=a\frac 1a.$$

La segunda implicación se deduce porque sólo han multiplicado ambos lados por $a.$ Esto da la última ecuación, que es la que había que demostrar.

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Una forma más breve es definir primero $1/a=a^{-1}.$ Entonces es casi trivial ver que $$a\frac 1a=1\implies a\frac 1a\left(\frac 1a\right)^{-1}=\left(\frac 1a\right)^{-1}\implies a=\frac{1}{\frac 1a}.$$