Tengo una pregunta sobre una prueba que vi en un libro sobre reglas básicas de algeba. La regla a demostrar es: \begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{a}} = a, \quad a \in \mathbb{R}_{\ne 0} \end{eqnarray*}
Y la prueba:
\begin{eqnarray*} 1 = a \frac{1}{a} \Longrightarrow 1 = \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow a = a \frac{1}{a} \frac{1}{\frac{1}{a}} \Longrightarrow \frac{1}{\frac{1}{a}} = a \end{eqnarray*}
¿Por qué se permite simplemente sustituir $a$ con $1/a$ ? ¿Cuál es la explicación?