¿Por qué$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} =4 $ si x no puede ser 2?

Question

Sé que $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} $ se evalúa de la siguiente manera: -

PS

Al observar la función $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} \\ = \lim_{x \to 2} x+2 \\ = 2+2 \\ = 4 $ , puedo ver que 2 no está en su dominio. Por lo tanto, no puedo entender cómo $ \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ .

Answer 1

Límites de lo que una función de los enfoques como $x$ enfoques de un valor, y no dependen del valor de la función en sí. Aquí, como $x$ se convierte arbitrariamente cerca de $2$, $\frac{x^2-4}{x-2}$ se convierte arbitrariamente cerca de $4$ y por lo tanto decimos que su límite de $x\rightarrow 2$ es $4$. Tenga en cuenta que el hecho de que la función no está definida en $x=2$ es irrelevante.

Aquí está una foto si que aclara las cosas:

Tenga en cuenta que cuando se $x$ está muy cerca de a $2$, la función está muy cerca de a $4$ incluso si es indefinido, precisamente, a $2$.

Answer 2

Límite no tiene que ver con la existencia de la función en ese punto. En el contexto del problema dado,

$$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$

Estudiamos el comportamiento de $f$ como $x$ enfoques de un cierto punto. Por ejemplo vamos a estudiar la RHL por considerar el valor de $f$ en algunos puntos:

$$f(2.01) = 4.01$$

$$f(2.001) = 4.001$$ $$f(2.0001) = 4.0001$$

A ver cómo cuando nos movemos $x$ más cerca de la $2$, $f(x)$ se acerca a $4$. De igual manera para la LHL,

$$f(1.99) = 3.99$$ $$f(1.999) = 3.999$$ $$f(1.9999) = 3.9999$$

Lo mismo ocurre cuando nos acercamos a $x$ más cerca de la $2$, $f(x)$ se acerca a $4$.

Ahora en breve de la mano podemos hacerlo así

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$

Ahora desde $ x \neq 2$, $x - 2 \neq 0$. Por lo tanto, podemos cancelar el factor en el numerador y el denominador por encima. Por lo tanto tenemos

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$ $$=\lim_{x \to 2} x+2$$ $$=4$$

Answer 3

Simplemente significa que $f(x)$ enfoques $4$ desde ambos lados como $x$ enfoques $2$. La función no necesita ser definida en ese punto, aunque podría. La función de $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ es exactamente "el mismo", como la función $f(x) = x+2$ en todos los puntos, excepto en $x = 2$, donde hay una discontinuidad removible o un espacio, en la antigua función. Por lo tanto, cualquiera que sea el valor de $x+2$ toma en $x=2$ será equivalente al valor de $\frac{x^2-4}{x-2}$ enfoques $x \to 2$. El hecho de que la función no está definida en ese punto no cambia esto.

Answer 4

Mirando a la función $$ \frac{x^2 - 4}{x - 2},$$ I can see that $2$ is not in its domain. Therefore, I am not able to understand how $ \lim_{x \to 2} x+2 = 2+2 $.

Un punto de no estar en el dominio de una función para que la función tiene un valor límite en ese punto. La única condición es que la función se define en una infinidad de puntos cerca del punto en cuestión. Por lo tanto, también podemos calcular los límites de funciones en el infinito. Voy a suponer que usted estará de acuerdo en que el infinito no puede estar en el dominio de la mayoría de las funciones que saben y son propensos a tratar por algún tiempo todavía. A pesar de esto, algunas de las funciones no tienen límites finitos en el infinito. Un ejemplo elemental es la secuencia definida por $1/n,$ cuyo límite en $\infty,$ como podrá confirmar, se $0,$ a pesar del hecho de que no hay mayor entero positivo. Podríamos multiplicar los muchos ejemplos. De hecho, este es el poder de límites -- que nos permiten ampliar las funciones de esta manera.

En suma, una función no necesita ser definido en un punto para que tenga un límite; los límites están definidos en los puntos que están rodeados de una infinidad de puntos en el dominio de una función, sea o no rodeado punto pertenece a este dominio. Por supuesto, esto no significa que siempre existe.

Por lo tanto, su inadecuado de la función racional no puede ser definido en $x=2,$ pero es definida en todos los puntos arbitrariamente cerca de este punto. Por lo tanto, podemos tomar su límite en $2.$ En este caso resulta ser $4,$ como has justamente determinado.

Buena suerte!