Evaluación de una serie infinita $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}2^{n}}$

Question

He estado tratando de encontrar la suma de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}2^{n}}$$ pero no he podido encontrar ningún método (como una serie de fourier) que parezca llevarme a alguna parte.

WolframAlpha dio $ \dfrac{\pi^2}{12}-\dfrac{ln^2(2)}{2},$ ¿pero cómo se llega a esto?

Answer 1

Sugerencia Dejemos que $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}x^n$ . Entonces $$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}x^{n-1} \\ xf'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}x^{n}\\ f'(x)+xf''(x)=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$$

Para simplificar, dejemos que $y=f'(x)$ . Entonces tienes que resolver: $$y+xy'=\frac{1}{1-x}$$ o de forma equivalente $$(xy)'=\frac{1}{1-x}$$

Puede encontrar $y=f'$ y por lo tanto $f$ de aquí. Enchufar $x=\frac{1}{2}$ .

Answer 2

Esta suma es, de hecho, la representación en serie de $\operatorname{Li}_2\left(\frac12\right)$ que tiene un forma cerrada conocida .

Answer 3

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$$ Integrando de 0 a t obtenemos $$\int_{0}^{t}\frac{1}{(1-x)}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{t} x^{n}dx$$$$-\ln(1-t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n}$$ Dividiendo por t e integrando $$\int_{0}^{0.5}-\frac{\ln(1-t)}{t}dt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{0.5} \frac{t^{n-1}}{n}dt=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}2^{n}}$$ Esto en el cálculo es $$ \dfrac{\pi^2}{12}-\dfrac{ln^2(2)}{2},$$

Answer 4

Creo que una mejor manera de hacerlo es la siguiente. Poner $g(x)=-\int_0^x\frac{\ln(1-t)}t\text dt$ . Como sabes por las otras respuestas, estás tratando de calcular $\frac 12g(1/2)$ . Ahora demuestre que $g(x)+g(1-x)=g(1)-\ln(x)\ln(1-x)$ utilizando la definición de $g$ , una sustitución e integración por partes. A continuación se expande la serie de Taylor para el integrando de $g(1)$ e integrar término a término para obtener $g(1)=\sum_{n\ge1}n^{-2}=\frac{\pi^2}6$ (esto se llama el El problema de Basilea ). Por último, introduzca $x=1/2$ y simplificar.