Uso de la regla de Leibniz para resolver ecuaciones integrales

Question

Problema: Encontrar el número total de distinta $x$ en $[0,1]$ para que $$\int_{0}^{x}\frac{t^{2}}{1+t^{4}}dt=2x-1$$ sostiene.

He tratado de resolver mediante la regla de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral, y que parece que a mi me da que no hay soluciones. Sin embargo, la respuesta correcta es $1$. ¿Por qué es mi método no funciona, y lo que debo hacer para trabajar hacia la obtención de la respuesta correcta?

Answer 1

Considere la función $$f(x)=2x-1-\int\limits_0^x\frac{t^2}{1+t^4}\ dt.$$ Clearly, $ f$ is continuous on $ [0,1].$ Note that $ F (0) = - 1 <0$, and $$f(1)=1-\int\limits_0^1\frac{t^2}{1+t^4}\ dt\geq 1-\int\limits_0^1\frac{1}{1+0}\ dt=0.$$ If $ f (1)$ is zero, we've found a solution. If not, then $ f (1)> 0.$ In this case, the intermediate value theorem guarantees that there exists $ c \ in (0,1)$ for which $ f (c) = 0,$ or $ $2c-1=\int\limits_0^c\frac{t^2}{1+t^4}\ dt.$$ This shows that there is, at least, one solution. Next, note that $$f'(x)=2-\frac{x^2}{1+x^4}>0$$ for $ x \ en [0,1]$, so the function is strictly increasing, which tells us that the previously-found zero of $ f$ is the only such zero. In the end, we did use the fundamental theorem of calculus here, but only to show that the zero of $ f $ era único.

Answer 2

Sugerencia: use ese $$1+t^4=1+t^4+2t^2-2t^2=(1+t^2)^2-(\sqrt{2}t)^2=(1+t^2-\sqrt{2}t)(1+t^2+\sqrt{2}t)$ $