Al darme cuenta de que realmente no entiendo la diferenciación cuando no se establece explícitamente.

Question

Probablemente demasiado tarde en mi matemáticas 'carrera' para pedir esto, pero, no entiendo la diferenciación en múltiples dimensiones cuando las funciones no se indica explícitamente. Lo que he conseguido hasta ahora, pero creo que es tiempo de aprender correctamente.

Algunos ejemplos:

En mi PDE del curso que estamos estudiando la ecuación de onda y de una pregunta que nos definen $$u(x,t) = v(\xi,\eta),\,\, \xi = x+ct,\,\, \eta = x-ct$$ where $c\in\mathbb{R}$. And the following line is $\partial_{x}u = \partial_{\xi}v+\partial_{\eta}v$. Entiendo que en este viene en busca de la fórmula para la diferenciación, pero confundirse con las dependencias, ya que es casi nunca explícitamente por escrito.

También teniendo en cuenta las funciones de varias variables. Digamos, por ejemplo, tiene una función derivable $f$ e intenta calcular $$\frac{d}{dx}f(ax+bt)\quad \text{and}\quad \frac{d}{dt}f(ax+bt)$$ where $a,b \in\mathbb{R}$ and $x,t$ are variables. I believe the answers respectively are $$af'(ax+bt)\quad \text{and}\quad bf'(ax+bt).$$ But, I have no idea where $f'$ comes from in this context. Does it mean $$f' = \frac{d}{d(ax+bt)}?$$ Si es así ¿por qué? ¿Cómo puedo encontrar algo de intuición con el cálculo de la no-formas explícitas como tal?

Answer 1

A menudo me encuentro que para ser más claro para escribir entradas de forma explícita, y también para utilizar la notación $D_i f$ de la $i$ésima derivada parcial de una función de $f$. La función de $u$ se define de manera que $$ u(x,t) = v(x + ct, x - ct) = v(\xi(x,t), \eta(x,t)), $$ donde $\xi(x,t) = x + ct$ e $\eta(x,t) = x - ct$. A partir de la multivariable regla de la cadena, la primera derivada parcial de $u$es \begin{align} D_1 u(x,t) &= D_1 v(\xi(x,t), \eta(x,t)) D_1 \xi(x,t) + D_2 v(\xi(x,t), \eta(x,t)) D_1 \eta(x,t)\\ &= D_1 v(x + ct, x - ct) \cdot 1 + D_2 v(x + ct, x - ct) \cdot 1. \end{align} Este resultado también podría ser escrito como $$ \partial_x u(x,t) = \partial_\xi v(x+ct, x - ct) + \partial_\eta v(x + ct, x - ct). $$

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En cuanto al segundo ejemplo, definir $$ F(x,t) = f(ax + bt) = f(h(x,t)), $$ donde $h(x,t) = ax + bt$. A partir de la regla de la cadena, tenemos \begin{align} D_1 F(x,t) &= f'(h(x,t)) D_1 h(x,t) \\ &= f'(ax + bt) \cdot a. \end{align} Este cálculo también se podría haber escrito como \begin{align} \partial_x F(x,t) &= f'(h(x,t)) \partial_x h(x,t) \\ &= f'(ax + bt) \cdot a. \end{align}

Answer 2

Esto puede tener más sentido si lo escribe con la regla de la cadena. Deje $u=ax+bt$ . Luego, con la regla de la cadena, obtenemos para $$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}$ $ con $$\frac{du}{dx}=a$ $ . Entonces obtenemos $$\frac{df}{dx}=a\frac{df}{du}$ $. Así que su interpretación de $f'=\frac{df}{d(ax+bt)}$ es correcta aquí.

Answer 3

Tal vez es mejor si utilizas letras diferentes para diferentes funciones... Si el hecho de que usted está definiendo $F(x,t) = f(ax+bt)$. Las derivadas parciales están relacionados con los derivados de la $F$, mientras que el total de los derivados relacionados con la $f$. Por ejemplo, como usted dice, $$ \frac{\partial F}{\partial x} (x,t) = \frac{\partial}{\partial x}(ax+bt) \cdot f'(ax+bt)=f'(ax+bt). $$

Normalmente, cuando el contexto es claro, la gente suele abuso de notación.