Cálculo eficiente de las clases de conjugación de un pequeño grupo.

Question

Estoy tratando de construir una tabla de caracteres para un grupo de orden 54 dado por:

PS

Para hacer esto primero necesito calcular las clases de conjugación. Esto parece una tarea tediosa y estoy buscando alguna guía sobre cómo calcularlos de manera eficiente.

Answer 1

A partir de la definición de las relaciones de tratar de obtener una descripción de todos los elementos.

Cualquier elemento es una "palabra" que implican $a$ e $b$.

La última condición de $b^{-1}ab = a^2$ puede ser reescrita como $ab= ba^2$. Esta versión modificada dice cuando una viene por delante de b puede ser empujado a venir detrás de b, pero como $a^2$. Así que todas las palabras en a y b puede ser reformulada para tener una b en la frente y una al final. Como $a^9=b^6=1$, cualquier elemento puede ser escrito como $b^m a^n$ con $m=0,1,2,\ldots, 8, \ n=0,1,2,\ldots, 5$, dando 54 posibilidades.

Ahora a tratar de describir conjuates de los elementos de tipo $a^k$, a continuación, $b^k$ y, a continuación, $a^k b^l$ cualquier $g$ ($g$ tiene que ser de la forma $b^m a^n$ anterior). Es factible.

Answer 2

$G = \{a^mb^n:0\le m\le 8,0\le n\le 5\}$. Para un elemento $a^mb^n\in G$, $b^{-1}a^mb^nb = a^{2m}b^n$ y, por tanto, una fija $n$, $a^mb^n$ (con $m = 1,2,4,5,7,8$ o con $m = 3,6$) están en una misma clase conjugacy. Por otra parte, $$a^{-1}a^mb^na = a^{m-1}b^nab^{-n}b^n = a^{m-1}a^{5^n}b^n$$ since $ba^2b^{-1} = a = (a^2)^5$ and $a^2$ is also a generator of $\langle\rangle$. Note that a conjugate by $$ or $b$ does not change $n$. Therefore, we only need to discuss $$n.

(1) $n=0$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^mb^n$, por lo que el conjugado por $a$ es fijo. Por lo $\{1\},\{a,a^2,a^4,a^5,a^7,a^8\},\{a^3,a^6\}$ son clases conjugacy.

(2) $n=1$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^{m+4}b^n$. Por lo $\{b,ab,\dots, a^8b\}$ es un conjugacy de clase, ya que $m+4$ ejecuta todas las $m$'s.

(3) $n=2$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^{m+24}b^n = a^{m+6}b^n$. Ahora $a^3b^2$, $a^6b^2$ e $b^2$ están en la misma clase conjugacy, mientras que otros $m$ formularios de otra clase conjugacy.

(4) $n=3$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^{m+124}b^n = a^{m+7}b^n$. De igual (2), ya que ejecuta todos los $m$'s.

(5) $n=4$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^{m+3}b^n$. El mismo (3).

(6) $n=5$, a continuación, $a^{-1}a^mb^na = a^{m+1}b^n$. El mismo (2).