Encontrando $\lim_{x \to 0+}\frac{x^{(\sin x)^x}-(\sin x)^{x^{\sin x}}}{x^3}$

Question

Problema

$$\lim_{x \to 0+}\frac{x^{(\sin x)^x}-(\sin x)^{x^{\sin x}}}{x^3}.$$

Intento

\begin {align*} & \lim_ {x \to 0} \frac {x^{( \sin x)^x}-( \sin x)^{x^{ \sin x}}}{x^3} \\ =& \lim_ {x \to 0} \frac { \exp [( \sin x)^x \ln x]- \exp [{x^{ \sin x} \ln ( \sin x)]}}{x^3} \\ =& \lim_ {x \to 0} \frac { \exp [{x^{ \sin x} \ln ( \sin x)]}( \exp [( \sin x)^x \ln x-{x^{ \sin x} \ln ( \sin x)}]-1)}{x^3} \\ =& \lim_ {x \to 0} \frac { \exp [{x^{ \sin x} \ln ( \sin x)]} [( \sin x)^x \ln x-{x^{ \sin x} \ln ( \sin x)}]}{x^3} \end {align*} ¿Esto ayudará?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} &\log\left(\frac{x^{\sin(x)^x}}x\right)\\[3pt] &=\log(x)\sin(x)^x-\log(x)\\[6pt] &=\color{#C00}{\log(x)}\,\color{#090}{x^x}\color{#00F}{\left(\frac{\sin(x)}x\right)^x}-\log(x)\\ &=\color{#C00}{\log(x)}\color{#090}{\left(1+x\log(x)+\frac{x^2\log(x)^2}2+\varepsilon_{3,3}\right)}\color{#00F}{\left(1+\varepsilon_{3,0}\right)}-\log(x)\\ &=x\log(x)^2+\frac{x^2\log(x)^3}2+\varepsilon_{3,4} \end{align} $$ y $$ \begin{align} &\log\left(\frac{\sin(x)^{x^{\sin(x)}}}x\right)\\[3pt] &=\log(\sin(x))\,x^{\sin(x)}-\log(x)\\[9pt] &=\color{#C00}{\log(\sin(x))}\,\color{#090}{x^x}\color{#00F}{x^{\sin(x)-x}}-\log(x)\\[3pt] &=\color{#C00}{\left(\log(x)-\frac{x^2}6+\varepsilon_{4,0}\right)}\color{#090}{\left(1+x\log(x)+\frac{x^2\log(x)^2}2+\varepsilon_{3,3}\right)}\color{#00F}{\left(1+\varepsilon_{3,1}\right)}-\log(x)\\ &=x\log(x)^2+\frac{x^2\log(x)^3}2-\frac{x^2}6+\varepsilon_{3,4} \end{align} $$ donde $\varepsilon_{m,n}=O\!\left(x^m\log(x)^n\right)$ .

Si $u,v\to0$ entonces $e^u-e^v=(u-v)\left(1+\frac{u+v}2\right)+O\!\left(u^3\right)+O\!\left(v^3\right)$ . Así, $$ \frac{x^{\sin(x)^x}}x-\frac{\sin(x)^{x^{\sin(x)}}}x=\frac{x^2}6+\varepsilon_{3,6} $$ y por lo tanto, $$ \frac{x^{\sin(x)^x}-\sin(x)^{x^{\sin(x)}}}{x^3}=\frac16+\varepsilon_{1,6} $$ Eso es, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to0}\frac{x^{\sin(x)^x}-\sin(x)^{x^{\sin(x)}}}{x^3}=\frac16} $$

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En general

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \left(x+O\!\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(x^3\right)} &=\color{#C00}{x^x}\color{#090}{x^{O\left(x^3\right)}}\color{#00F}{\left(1+O\!\left(x^2\right)\right)^{x+O\left(x^3\right)}}\\[3pt] &=\color{#C00}{\left(1+x\log(x)+\tfrac12x^2\log(x)^2+\varepsilon_{3,3}\right)}\color{#090}{(1+\varepsilon_{3,1})}\color{#00F}{(1+\varepsilon_{3,0})}\\[3pt] &=1+x\log(x)+\tfrac12x^2\log(x)^2+\varepsilon_{3,3}\tag1 \end{align} $$ donde $\varepsilon_{m,n}=O\!\left(x^m\log(x)^n\right)$ .

Además, $$ \begin{align} \log\left(x+ax^3+o\!\left(x^3\right)\right) &=\log(x)+\log\left(1+ax^2+o\!\left(x^2\right)\right)\\[3pt] &=\log(x)+ax^2+o\!\left(x^2\right)\tag2 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} &\log\left(x+ax^3+o\!\left(x^3\right)\right)\left(x+O\!\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(x^3\right)}-\log(x)\\[3pt] &=x\log(x)^2+\tfrac12x^2\log(x)^3+ax^2+o\!\left(x^2\right)\tag3 \end{align} $$ Si $u,v\to0$ entonces $e^u-e^v=(u-v)\left(1+\frac{u+v}2\right)+O\!\left(u^3\right)+O\!\left(v^3\right)$ .

Así, $$ \begin{align} &\frac1x\left[\left(x+a_1x^3+o\!\left(x^3\right)\right)^{\left(x+O\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(\lower{.5pt}{x^3}\right)}} -\left(x+a_2x^3+o\!\left(x^3\right)\right)^{\left(x+O\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(\lower{.5pt}{x^3}\right)}}\right]\\[6pt] &=(a_1-a_2)x^2+o\!\left(x^2\right)\tag4 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\begin{align} &\lim_{x\to0}\frac1{x^3}\left[\left(x+a_1x^3+o\!\left(x^3\right)\right)^{\left(x+O\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(\lower{.5pt}{x^3}\right)}} -\left(x+a_2x^3+o\!\left(x^3\right)\right)^{\left(x+O\left(x^3\right)\right)^{x+O\left(\lower{.5pt}{x^3}\right)}}\right]\\[6pt] &=a_1-a_2 \end{align}}\tag5 $$ y esto verifica los otros límites en el pregunta similar (que quería una respuesta sin la serie Taylor).

Answer 2

Demasiado largo para un comentario (no tengo los puntos así que...)

Tenemos :

$$\lim_{x \to 0+}\frac{x^{(\sin x)^x}-(\sin x)^{x^{\sin x}}}{x^3}=\lim_{x \to 0+}\frac{-x^{(\sin x)^x}+(Arcsin (x))^{(x)^{Arcsin (x)}}}{x^3}.$$

Así que introducimos la siguiente función : $$f(x)=x^{sin(x)^x}$$

Tenemos que demostrar :

$$\lim_{x \to 0+}\frac{-f(x)+f(Arcsin(x))}{x^3}$$

O $$\lim_{x \to 0+}\frac{(-f(x)+f(Arcsin(x)))(Arcsin(x)-x)}{(Arcsin(x)-x)x^3}$$

Pero..:

$$\lim_{x \to 0+}\frac{(Arcsin(x)-x)}{x^3}=\frac{1}{6}$$

Y

$$\lim_{x \to 0+}\frac{(-f(x)+f(Arcsin(x)))}{(Arcsin(x)-x)}=1$$

Para el último límite utilizo el lema de las tres cuerdas y el hecho de que la función $f(x)$ es convexo en $[0;\varepsilon]$ para $\varepsilon$ muy pequeño (cerca de 0).

Answer 3

Mi solución

Recordemos las siguientes fórmulas $$\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x-\cdots\tag 1$$ $$e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\cdots\tag 2$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \tag 3$$ que son el punto de partida en el que debemos basarnos.

Desde $(1)$ , \begin {align} \frac { \sin x-x}{x}= \dfrac {x- \dfrac {1}{3!}x^3+o(x^4)-x}{x}=- \frac {1}{6}x^2+o(x^3). \tag {4} \end {align} Desde $(3)(4)$ , \begin {align} \ln\sin x&= \ln\left (x \cdot \frac { \sin x}{x} \right )= \ln x+ \ln\left (1+ \frac { \sin x-x}{x} \right ) \notag\\ &= \ln x+ \frac { \sin x-x}{x}- \frac {1}{2} \left ( \frac { \sin x-x}{x} \right )^2+o(x^4) \notag\\ &= \ln x- \frac {1}{6}x^2+o(x^3). \tag {5} \end {align} Desde $(5)$ , $$x\ln\sin x=x(\ln x-\frac{1}{6}x^2+o(x^3))=x\ln x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3).\tag{6}$$ Desde $(2)(6)$ , \begin {align*} ( \sin x)^x&= \exp (x \ln\sin x)=1+x \ln\sin x+ \frac {1}{2}(x \ln\sin x)^2+ \frac {1}{6}(x \ln\sin x)^3+o(x^3 \ln ^3 x) \notag\\ &=1+x \ln x+ \frac {1}{2}x^2 \ln ^2 x+ \frac {1}{6}x^3 \ln ^3 x+o(x^3 \ln ^3 x). \tag {7} \end {align*} Desde $(7)$ obtenemos el resultado vital de que \begin {align*} { \color {rojo}{f(x):=( \sin x)^x \ln x}}= \ln x+x \ln ^2 x+ \frac {1}{2}x^2 \ln ^3 x+ \frac {1}{6}x^3 \ln ^4 x+o(x^3 \ln ^4 x). \tag {8} \end {align*}

Morover, por $(1)(2)$ tenemos \begin {align*} x^{ \sin x}&= \exp ( \sin x \ln x)=1+ \sin x \ln x+ \frac {1}{2} \sin ^2 x \ln ^2 x+ \frac {1}{6} \sin ^3 x \ln ^3 x+o(x^3 \ln ^3 x) \notag\\ &=1+x \ln x+ \frac {1}{2} x^2 \ln ^2 x+ \frac {1}{6}x^3 \ln ^3 x+o(x^3 \ln ^3 x). \tag {9} \end {align*} Desde $(5)(9)$ obtenemos otro resultado vital que \begin {align*} &{ \color {rojo}{g(x):=x^{ \sin x} \ln\sin x}} \\ =&(1+x \ln x+ \frac {1}{2} x^2 \ln ^2 x+ \frac {1}{6}x^3 \ln ^3 x+o(x^3 \ln ^3 x))( \ln x- \frac {1}{6}x^2+o(x^3)) \\ =& \ln x+x \ln ^2 x+ \frac {1}{2}x^2 \ln ^3 x+ \frac {1}{6}x^3 \ln ^4 x- \frac {1}{6}x^2+o(x^3 \ln ^4 x). \tag {10} \end {align*}

Ahora, fíjate que, por $(8)(10)$ , $$f(x)-g(x)=\frac{1}{6}x^2+o(x^3\ln^4 x)\to 0(x \to 0^+),$$ y, por $(10)$ , $$\frac{e^g(x)}{x}=e^{g(x)-\ln x}=e^{x\ln^2 x+o(x\ln^2 x)}=e^0=1.$$ De ello se desprende que \begin {align*} \lim_ {x \to 0+} \frac {x^{( \sin x)^x}-( \sin x)^{x^{ \sin x}}{x^3}&= \lim_ {x \to 0+} \frac {e^{f(x)}-e^{g(x)}}{x^3} \\ &= \lim_ {x \to 0+} \frac {e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)}-1)}{x^3} \\ &= \lim_ {x \to 0+} \frac {e^{g(x)}}{x} \cdot\lim_ {x \to 0+} \frac {e^{f(x)-g(x)}-1}{x^2} \\ &=1 \cdot\lim_ {x \to 0+} \frac {f(x)-g(x)}{x^2} \\ &= \lim_ {x \to 0+} \left ( \frac {1}{6}+o(x \ln ^4 x) \right ) \\ &= \frac {1}{6}. \end {align*}