Factorización $(x+a)(x+b)(x+c)+(b+c)(c+a)(a+b)$ y utilizar el resultado para resolver una ecuación

Question

He conseguido demostrar que $(x+a+b+c)$ es un factor de $$(x+a)(x+b)(x+c)+(b+c)(c+a)(a+b)$$

Luego me pidieron que usara el resultado para resolver $$(x+2)(x-3)(x-1)+4=0$$

Lo sé por comparación, $a=2, b=-3, c=-1$ y por lo tanto $(x-2)$ es un factor, pero no puedo averiguar cómo resolver la ecuación sin expandir los paréntesis.

Answer 1

Por desgracia, hay que ampliar los paréntesis.

Afortunadamente, no es tan complicado después de todo:

$$(x+2)(x-3)(x-1)+4=0$$

así que

$$x^3-2x^2-5x+10=0$$ y el factoring de nuestro $x-2$ , $$(x-2)(x^2-5)=0$$

de la que podemos leer fácilmente la respuesta como $x=2,\pm\sqrt{5}$

Answer 2

Desde el $x^2$ coeficiente en su cúbica es $a+b+c$ el factor cuadrático es de la forma $x^2+k$ siendo las raíces $\pm\sqrt{-k}$ . El $x=0$ el caso da $$k=\frac{abc+(b+c)(c+a)(a+b)}{a+b+c}=ab+bc+ca.$$ En su caso $k=-5$ .

Simplificando $k$ como en el caso anterior mira como si requiriera un tedioso álgebra, pero las cosas no son tan malas como parecen. Es el cociente de dos polinomios totalmente simétricos en $a,\,b,\,c$ , una de grado $3$ El otro $1$ . Esto no demuestra por sí solo que $k$ es un polinomio; pero si lo es, debe ser totalmente simétrico y de grado $2$ y, por tanto, proporcional a $ab+bc+ca$ . El caso $a=b=c$ da $k=\frac{9a^3}{3a}=3a^2$ , por lo que tendrá que ser $ab+bc+ca$ mismo. Por lo tanto, tiene sentido volver a comprobar si $(ab+bc+ca)(a+b+c)=abc+(b+c)(c+a)(a+b)$ . Pero por supuesto lo hace, porque ambos lados son funciones cúbicas totalmente simétricas, por lo que tienen una relación fija. De nuevo, el caso $a=b=c$ refuerza esto a la igualdad.

Answer 3

¡Es bueno que hayas conseguido el factor!

Esta es una forma de hacerlo: $$(x+a)(x+b)(x+c)+(b+c)(c+a)(a+b)=\\ x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc+\\ 2abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2=\\ x^2(x+a+b+c)+(ab+bc+ca)x+\\ ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)=\\ x^2(x+a+b+c)+(ab+bc+ca)x+\\ (a+b+c)(ab+bc+ca)=\\ x^2(x+a+b+c)+(ab+bc+ca)(x+a+b+c)=\\ (x+a+b+c)(x^2+ab+bc+ca).$$ Ahora, escribe la ecuación dada en esta forma: $$(x+2)(x-3)(x-1)+4=0 \iff \\ (x+2)(x-3)(x-1)+(2-3)(-3-1)(-1+2)=0 \iff \\ (x+2-3-1)(x^2+2(-3)+(-3)(-1)+(-1)2)=0 \iff \\ (x-2)(x^2-5)=0 \Rightarrow x_1=2, x_{2,3}=\pm \sqrt{5}.$$

Answer 4

Probablemente no sea más eficiente que la simple factorización, pero también funciona:

$$\begin{eqnarray}\frac{(x+2)(x−3)(x−1)+4}{x-2} & = & \frac{(x-2+4)(x−3)(x−1)}{x-2}+\frac{4}{x-2} \\ & = & (1+\frac{4}{x-2})(x−3)(x−1)+\frac{4}{x-2} \\ & = & (x−3)(x−1) + \frac{4(x−3)(x−2+1)}{x-2}+\frac{4}{x-2}\\ & = & (x−3)(x−1) + 4(x−3)(1+\frac{1}{x-2})+\frac{4}{x-2}\\ & = & (x−3)(x−1) + 4(x−3) + \frac{4(x−2-1)}{x-2}+\frac{4}{x-2}\\ & = & (x−3)(x−1) + 4(x−3) + 4\\ & = & (x−3)(x+3) + 4\\ & = & x^2 - 5 \; . \end{eqnarray}$$